Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
ou seja, estamos em um problema de limite de sequência e precisamos usar ideias de comparação com séries conhecidas (a série de
).
Passo 2
Expandimos
por binômio de Newton:
Para cada
em
temos
logo
Somando essas desigualdades de
até
, obtemos
Passo 3
Definimos a sequência parcial da série de
Sabemos que
é crescente e converge para
Além disso, como todos os termos a partir de
em diante são positivos, temos
e da comparação do passo anterior segue
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), como
para todo
, fica garantido que
Resposta
A sequência
converge e