Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
an = l(1+1nr)^n,
ou seja, estamos em um problema de limite de sequência e precisamos usar ideias de comparação com séries conhecidas (a série de e).

Passo 2

Expandimos l(1+tfrac1nr)^n por binômio de Newton:
l(1+1nr)^n = sumk=0^n binomnk1n^k
Para cada k em 0,1,dots,n temos
binomnk =n(n-1)cdots(n-k+1)k! >= n^kk!,
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binomnk1n^k >= 1k!
Somando essas desigualdades de k=0 até k=n, obtemos
l(1+1nr)^n ;>=; sumk=0^n1k!

Passo 3

Definimos a sequência parcial da série de e
bn = sumk=0^n1k!
Sabemos que bn é crescente e converge para
sumk=0^infty1k! = e
Além disso, como todos os termos a partir de n+1 em diante são positivos, temos
bn < e,
e da comparação do passo anterior segue
bn ;<=; an ;<; e

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), como
bnto e e an<e
para todo n, fica garantido que
an = l(1+1nr)^n ;longrightarrow; e

Resposta

A sequência l(1+tfrac1nr)^n converge e
limntoinftyl(1+1nr)^n = e

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