Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
31-)
n+1e^n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
an = n+1e^n,
com nin N^*. O conteúdo necessário é entender que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio e usar o critério da razão para sequências.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão. Primeiro escrevemos
an = n+1e^n
e
an+1 = (n+1)+1e^,n+1 = n+2e^,n+1
Então
an+1an = n+2e^,n+1n+1e^n = n+2(n+1),e
Calculamos o limite da razão:
limntoinftyan+1an = limntoinftyn+2(n+1),e = 1e < 1

Passo 3

Como o limite da razão é menor que 1, o critério da razão garante que anto 0. Ou seja, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn+1e^n = 0

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