Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
32-)
n^nn!
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^nn!,
para ninN^*, e pede para decidir se (an) converge ou diverge. Vamos usar o Critério da Razão, que compara o quociente an+1/an e diz que, se
limntoinftyan+1an=L>1,
então (an) diverge para +infty.

Passo 2

Calculamos o quociente
an+1an = (n+1)^,n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^,n+1(n+1),n^n = (n+1)^nn^n = l(1+1nr)^n

Passo 3

Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyl(1+1nr)^n = e
Como e>1, o Critério da Razão garante que an diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge (vai a +infty).

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