integral cos 2 x sen 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cos(2x),sin(4x),dx
Este é um problema de integração de produto de funções trigonométricas; vamos usar identidade de produto-para-soma.

Passo 2

A identidade que converte produto de sin e cos em soma é
sin(a)cos(b) = tfrac12l[sin(a+b)+sin(a-b)r]
Aqui a=4x e b=2x.

Passo 3

Aplicando a identidade obtemos
sin(4x)cos(2x) = tfrac12l[sin(4x+2x)+sin(4x-2x)r] = tfrac12l[sin(6x)+sin(2x)r]

Passo 4

Substituindo na integral temos
integral cos(2x),sin(4x),dx = tfrac12integral l[sin(6x)+sin(2x)r]dx = tfrac12l(integral sin(6x),dx + integral sin(2x),dxr)
Agora
integral sin(6x),dx = -tfrac16cos(6x), integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x)

Passo 5

Multiplicando por tfrac12 e somando, obtemos
tfrac12l(-tfrac16cos(6x)r) +tfrac12l(-tfrac12cos(2x)r) = -tfrac112cos(6x) - tfrac14cos(2x)

Resposta

integral cos(2x),sin(4x),dx = -tfrac112cos(6x) - tfrac14cos(2x) + C

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