Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y' = x.
Para resolver, vamos escrever a solução como
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular qualquer da não homogênea.

Passo 2

Encontramos y_h resolvendo a equação característica
r^3 - r = 0
ou seja
r(r^2-1)=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,\;r=1,\;r=-1.
Logo
y_h(x) = C_1e^{0\cdot x} + C_2e^{x} + C_3e^{-x} = C_1 + C_2e^{x} + C_3e^{-x}.

Passo 3

Para y_p usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo à direita é o polinômio x (grau 1) e r=0 é raiz da característica de multiplicidade 1, multiplicamos a classe de candidatos polinomiais por x. Assim tomamos
y_p(x) = A x^2 + Bx.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x) = 2Ax + B,\quad y_p''(x) = 2A,\quad y_p'''(x)=0.
Substituindo em y'''-y'=x
0 - (2Ax + B) = x \;\Longrightarrow\; -2A\,x - B = 1\cdot x + 0.
Comparando coeficientes em x e termo constante:
-2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac12, \qquad -B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Logo
y_p(x) = -\tfrac12\,x^2.

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2e^{x} + C_3e^{-x} \;-\;\tfrac12\,x^2.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}e^{x} + C_{3}e^{-x} - \frac{x^{2}}{2}.

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