Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
35-)
n^2 ln n2^n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede determinar se a sequência
an = n^2ln n2^n
converge ou diverge. O conteúdo é analisar o comportamento de uma sequência em que o numerador cresce polinomialmente (mais lento) e o denominador cresce exponencialmente (muito mais rápido), e decidir o limite.

Passo 2

Para mostrar que a sequência vai a zero, aplicamos o teste da razão, isto é, examinamos
an+1an = (n+1)^2ln(n+1)2^,n+1n^2ln n2^,n = (n+1)^2ln(n+1)2,n^2ln n

Passo 3

Agora calculamos o limite da razão quando ntoinfty. Note que
(n+1)^2n^2 =l(1+1nr)^2to1 e ln(n+1)ln nto1,
portanto
limntoinftyan+1an =1cdot12 =tfrac12<1
Como a razão tende a um valor menor que 1, a sequência decresce geometricamente em escala assintótica e tende a zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^2ln n2^n=0

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