Para uma função
de classe
em um aberto de
definimos o
Laplaciano de
como:
Verifique as seguintes identidades:
.
Laplaciano de
Verifique as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado define, para uma função
de classe
, o Laplaciano como
Queremos verificar a identidade
O conteúdo necessário é o uso da regra do produto em derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Começamos calculando a derivada segunda em
de
. Primeiro, pela regra do produto,
Agora derivamos novamente em
:
onde escrevemos
e
. Portanto
Exatamente o mesmo raciocínio vale para as derivadas em
e em
:
Passo 3
Somando as três expressões acima, obtemos
Reconhecendo
,
e
, chegamos à identidade desejada:
Resposta
A identidade está verificada: