Para uma função f=f(x, y, z) de classe C^2 em um aberto de R^3 definimos o
Laplaciano de f como: De<a f=partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2
Verifique as seguintes identidades:
De<a(f g)=f De<a g+g De<a f+2 nabla f cdot nabla g.

Passo 1

O enunciado define, para uma função f(x,y,z) de classe C^2, o Laplaciano como
De<a f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2
Queremos verificar a identidade
De<a(fg)=f,De<a g+g,De<a f+2,nabla fcdotnabla g
O conteúdo necessário é o uso da regra do produto em derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Começamos calculando a derivada segunda em x de fg. Primeiro, pela regra do produto,
partialpartial x(f,g) = partial fpartial x,g + f,partial gpartial x
Agora derivamos novamente em x:
partial^2partial x^2(f,g) = partialpartial xl(fx,g + f,gxr) = fxx,g + fx,gx + fx,gx + f,gxx,
onde escrevemos fx=partial fpartial x e fxx=partial^2 fpartial x^2. Portanto
partial^2partial x^2(f,g) = fxx,g + 2,fx,gx + f,gxx
Exatamente o mesmo raciocínio vale para as derivadas em y e em z:
partial^2partial y^2(f,g) = fyy,g + 2,fy,gy + f,gyy, partial^2partial z^2(f,g) = fzz,g + 2,fz,gz + f,gzz

Passo 3

Somando as três expressões acima, obtemos
De<a(fg) =l(fxx+fyy+fzzr),g +f,l(gxx+gyy+gzzr) +2,(fx,gx+fy,gy+fz,gz)
Reconhecendo De<a f=fxx+fyy+fzz, De<a g=gxx+gyy+gzz e nabla fcdotnabla g=fx gx+fy gy+fz gz, chegamos à identidade desejada:
De<a(fg)=f,De<a g+g,De<a f+2,nabla fcdotnabla g

Resposta

A identidade está verificada:
boxedDe<a(fg)=f,De<a g+g,De<a f+2,nabla fcdotnabla g

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