Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
36-)
en ln (en)
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = en,ln!gl(engr),
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo funções logarítmica e racional. Para resolver precisamos usar a propriedade de crescimento de n em relação a ln(n) e o fato de 1/nto0.

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo, escrevemos
ln!gl(engr)=ln(e)-ln(n)=1-ln(n)
Substituindo em an, obtemos
an = en,l(1-ln(n)r)

Passo 3

Distribuindo o produto, fica
an = en - e,ln(n)n

Passo 4

Agora analisamos separadamente os limites de cada termo:
limntoinftyen=0 porque 1/nto0, e
limntoinftyln(n)n=0 pois o logaritmo cresce muito mais devagar que n. Logo
limntoinftye,ln(n)n=ecdot0=0
Somando os resultados, concluímos que
limntoinftyan = 0 - 0 = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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