Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
37-)
n^sen(pin)
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^sin!l(pinr),
para ninN^*, e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo potência e função seno.

Passo 2

Para estudar a convergência, é útil transformar a potência em exponencial. Note que
an = expl(ln(an)r) =expl(ln(n^sin(pin))r) =expl(sin!l(tfracpinr),ln(n)r)
Então basta analisar o limite de
sin(tfracpin),ln(n)
quando ntoinfty.

Passo 3

Para ntoinfty, temos pinto0. Usando a expansão de Taylor de sin x em torno de x=0:
sin x = x + o(x) Longrightarrow sin!l(tfracpinr) = tfracpin + ol(tfrac1nr)
Logo
sin!l(tfracpinr),ln(n) =l(tfracpin + o(tfrac1n)r)ln(n) =pi,ln(n)n + o!l(tfracln(n)nr)

Passo 4

Sabemos que
limntoinftyln(n)n=0,
portanto
limntoinftysin!l(tfracpinr),ln(n) =0
Assim
limntoinftyan =limntoinftyexpl(sin(tfracpin)ln(n)r) =exp(0) =1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

Exercícios relacionados