1. integral 1+sinh x1+cosh x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1+sinh x1+cosh x,dx
O conteúdo principal é usar identidades hiperbolicas e uma substituição. As identidades de ângulo metade são
1+cosh x = 2cosh^2!l(tfracx2r), sinh x = 2sinh!l(tfracx2r)cosh!l(tfracx2r)

Passo 2

Substituindo essas expressões na fração, obtemos
1+sinh x1+cosh x = 1 + 2sinh(tfracx2)cosh(tfracx2)2cosh^2(tfracx2) = 12cosh^2(tfracx2) + sinh(tfracx2)cosh(tfracx2) = 12cosh^2(tfracx2) + tanh!l(tfracx2r)

Passo 3

A integral se separa em duas partes:
integral 1+sinh x1+cosh x,dx = integral tanh!l(tfracx2r),dx ;+;integral 12cosh^2(tfracx2),dx

Passo 4

Fazendo a substituição , temos . Então
e

Passo 5

Somando as duas partes, o resultado final é
integral 1+sinh x1+cosh x,dx = 2lncosh!l(tfracx2r) + tanh!l(tfracx2r) + C

Resposta

integral 1+sinh x1+cosh x,dx = 2lncosh!l(tfracx2r) + tanh!l(tfracx2r) + C

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