Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
38-)
_{n \in N^{*}}
38-)
_{n \in N^{*}}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
para
. Pede-se determinar se
converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite.
Conteúdo: limites de sequências, operações com frações e uso do teorema do confronto para termos do tipo e
.
Conteúdo: limites de sequências, operações com frações e uso do teorema do confronto para termos do tipo
Passo 2
Para deixar claro como o termo se comporta quando
cresce, fatoramos
no numerador e no denominador. Assim, escrevemos
e, extraindo
, obtemos
Passo 3
Sabendo que para todo
vale
, ao dividir por
ficamos com
Como
quando
, pelo teorema do confronto segue
De modo totalmente análogo, usando
, conclui-se
Passo 4
Aplicando as propriedades de limite na expressão fatorada
temos
Portanto, o limite existe e é finito, logo a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e