Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
38-)
n-sen nn+cos n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = n - sin nn + cos n
para ninN^*. Pede-se determinar se an converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite.
Conteúdo: limites de sequências, operações com frações e uso do teorema do confronto para termos do tipo sin n /n e cos n /n.

Passo 2

Para deixar claro como o termo se comporta quando n cresce, fatoramos n no numerador e no denominador. Assim, escrevemos
an = n - sin nn + cos n
e, extraindo n, obtemos
an = nl(1 - sin nnr)nl(1 + cos nnr) = 1 - sin nn1 + cos nn

Passo 3

Sabendo que para todo n vale -1<= sin n<= 1, ao dividir por n>0 ficamos com
-,1n;<=;sin nn;<=;1n
Como 1nto0 quando ntoinfty, pelo teorema do confronto segue
sin nn;longrightarrow;0
De modo totalmente análogo, usando -1<=cos n<=1, conclui-se
cos nn;longrightarrow;0

Passo 4

Aplicando as propriedades de limite na expressão fatorada
an = 1 - sin nn1 + cos nn,
temos
limntoinftyan = 1 - 01 + 0 = 1
Portanto, o limite existe e é finito, logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn-sin nn+cos n = 1

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