1. integral raizx d xraiz[4]x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raizx,dxraiz[4]x^3+1
O conteúdo aqui é integração por substituição e depois decomposição de fração. Vamos usar uma mudança de variável que simplifique as potências de x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz[4]x = x^1/4,
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x = t^4, dx = 4,t^3,dt
Além disso
raizx=x^1/2=(t^4)^1/2=t^2
e
raiz[4]x^3=(x^1/4)^3=t^3.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral raizx,dxraiz[4]x^3+1 = integral t^2cdot(4,t^3,dt)t^3+1 =4 integral t^5t^3+1,dt

Passo 4

Para integrar 4integral t^5t^3+1,dt, fazemos a divisão polinomial
t^5 = t^2(t^3+1) - t^2,
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t^5t^3+1 = t^2 - t^2t^3+1
Assim
4 integral t^5t^3+1,dt =4integral t^2,dt ;-;4integral t^2t^3+1,dt

Passo 5

Calculamos cada parte:
4integral t^2,dt =4cdott^33 =43,t^3
  1. Para integral t^2t^3+1,dt, use u=t^3+1, du=3t^2,dt, então
integral t^2t^3+1,dt =13integral duu =13lnl|ur| =13lnl|t^3+1r|
Multiplicando por 4, dá
4integral t^2t^3+1,dt =43lnl|t^3+1r|
Portanto a integral em t é
43,t^3 ;-; 43lnl|t^3+1r| +C

Passo 6

Volta à variável x usando t=x^1/4, t^3=x^3/4. Assim a resposta final é
43l(x^3/4-lnl(x^3/4+1r)r)+C

Resposta

boxed43l(x^3/4-lnl(x^3/4+1r)r)+C

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