Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos. \quad f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad \text { se } 0<x<\pi, \\\\ 0, \quad \text { se } \pi<x<2 \pi ;\end{array} \quad\right. série de cossenos, período 4 \pi.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) determinar a série de Fourier do tipo cossenos (série de cossenos) para a função dada, onde a série deve ter período 4\pi\); (ii) identificar a função para a qual essa série converge (ou seja, descrever a extensão periódica e par da função); (iii) esboçar (descrever) o gráfico dessa função em um intervalo de três períodos.
Dados fornecidos (retirei-os do enunciado): a função é definida em \((0,2\pi)\) por
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<x<2\pi, \end{cases}
e precisamos construir a série de cossenos com período 4\pi\]. Também anotei que, para obter período \(4\pi fazendo uma série de cossenos, devo trabalhar no intervalo [0,L] com L=2\pi (pois uma expansão de cossenos em [0,L] gera a extensão par com período 2L, aqui 2L=4\pi). Neste passo apenas enumerei o que é pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Explicando o método (curtinho e prático, como faria na prova): como queremos série de cossenos com período 4\pi, tomamos L=2\pi e usamos a expansão de cossenos em [0,L]. A forma geral da série de cossenos em [0,L] é
Agora faço a integral por partes. Seja k=\dfrac{n}{2}. Então precisamos calcular \int_0^\pi x\cos(kx)\,dx. Aplicando integração por partes com u=x, dv=\cos(kx)\,dx:
Interpretação e simplificação dos coeficientes dependentes de n módulo 4. É útil entender os valores de \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) e \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big):
Se n\equiv 0\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=1. Então a_n=0.
Se n\equiv 1\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=1, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0. Entãoa_n=\frac{2}{n}-\frac{4}{\pi n^2}.
Se n\equiv 2\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=-1. Entãoa_n=\frac{4}{\pi n^2}(-1-1)= -\frac{8}{\pi n^2}.(Note que essa expressão pode ser reescrita para n=2m como a_{2m}=\dfrac{(-1)^m-1}{\pi m^2}, que dá zero quando m é par e -\dfrac{2}{\pi m^2} quando m é ímpar — ambos equivalentes.)
Se n\equiv 3\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=-1, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0. Entãoa_n=-\frac{2}{n}-\frac{4}{\pi n^2}.
Essas fórmulas dão a compreensão prática de quais termos aparecem e seus sinais.
Passo 6
Escrever a série de cossenos final (forma compacta). Substituindo a_0 e a_n na fórmula geral, a série de cossenos de período 4\pi é
Esta é a resposta direta pedida: é a série de cossenos com L=2\pi (note o argumento \dfrac{n x}{2}=\dfrac{n\pi x}{L} com L=2\pi).
Passo 7
Para qual função a série converge? Regra geral: a expansão de cossenos em [[0,L]) produz a extensão par de f e periódica de período 2L. Aqui L=2\pi, logo a série converge para a extensão par de f com período 4\pi. Posso descrever essa função explícita num período padrão [-2\pi,2\pi]:
No intervalo (- \pi,\pi) a extensão par coincide com |x| (porque para 0<x<\pi tínhamos f(x)=x, e a reflexão par dá f(x)=|x| em (- \pi,\pi)). Nos intervalos (\pi,2\pi) e (-2\pi,-\pi) a função vale 0. Assim, numa forma compacta, a função periódica g(x) (com período 4\pi) para a qual a série converge é:
para todo inteiro k\]. (Em palavras: em cada período de comprimento \(4\pi a função é zero na faixa externa de comprimento \pi à direita e à esquerda, e tem o formato |x| central no intervalo de comprimento 2\pi centrado no meio do período.) Nos pontos de descontinuidade (por exemplo x=\pm\pi mais múltiplos de 2\pi) a série converge ao valor médio dos limites laterais (por exemplo em x=\pi o valor é \tfrac{\pi+0}{2}=\tfrac{\pi}{2}).]
Passo 8
Como esboçar o gráfico em um intervalo de três períodos (descrição prática para desenhar na prova): cada período tem comprimento 4\pi. Pegue um eixo horizontal e marque intervalos de comprimento 4\pi. Em cada período, faça o seguinte padrão:
No terço esquerdo do período (intervalo de comprimento \pi): valor zero.
No centro (intervalo de comprimento 2\pi, simetricamente centrado), desenhe um “V” que é a função |x - x_0| onde x_0 é o centro do período; esse “V” vai de altura 0 no ponto central do período até altura \pi nos pontos onde encontra a região zero.
No terço direito do período (intervalo de comprimento \pi): valor zero.
Repita esse padrão três vezes (três períodos). Lembre:
Nos pontos de transição entre a parte triangular e a parte zero existe uma descontinuidade (salto) de \pi para 0; no gráfico marque esses saltos verticalmente (na série a esses pontos a soma vale a média, \pi/2).
No centro de cada período (ponto médio) a função atinge máximo local \pi (picos dos “V” em cada período).
Com isso você tem o esboço completo para três períodos consecutivos.
e estende-se com período 4\pi\]. Nos pontos de descontinuidade (ex.: \(x=\pm\pi mais múltiplos de 2\pi) a série toma o valor médio dos limites laterais (ex.: \pi/2 em x=\pi).
Gráfico em três períodos: repetir três vezes o padrão acima (cada período de comprimento 4\pi): zeros nas faixas externas de comprimento \pi, e no intervalo central de comprimento 2\pi um “V” dado por |x-x_0| que atinge altura \pi nas junções com as faixas zero; repetir esse bloco 3 vezes ao longo do eixo.]