Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
\quad f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad \text { se } 0<x<\pi, \\\\ 0, \quad \text { se } \pi<x<2 \pi ;\end{array} \quad\right. série de cossenos, período 4 \pi.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) determinar a série de Fourier do tipo cossenos (série de cossenos) para a função dada, onde a série deve ter período 4\pi\); (ii) identificar a função para a qual essa série converge (ou seja, descrever a extensão periódica e par da função); (iii) esboçar (descrever) o gráfico dessa função em um intervalo de três períodos. Dados fornecidos (retirei-os do enunciado): a função é definida em \((0,2\pi)\) por \[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<x<2\pi, \end{cases}
e precisamos construir a série de cossenos com período 4\pi\]. Também anotei que, para obter período \(4\pi fazendo uma série de cossenos, devo trabalhar no intervalo [0,L] com L=2\pi (pois uma expansão de cossenos em [0,L] gera a extensão par com período 2L, aqui 2L=4\pi). Neste passo apenas enumerei o que é pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Explicando o método (curtinho e prático, como faria na prova): como queremos série de cossenos com período 4\pi, tomamos L=2\pi e usamos a expansão de cossenos em [0,L]. A forma geral da série de cossenos em [0,L] é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde as fórmulas para os coeficientes são
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad(n\ge 1).
Aqui L=2\pi. Vou aplicar essas fórmulas ao f dado, integrando na região onde f é não nula (isto é, 0<x<\pi).

Passo 3

Calcular a_0. Primeiro a integral de f em [0,2\pi]:
\int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx=\int_{0}^{\pi} x\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}0\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}.
Agora aplicar a fórmula com L=2\pi:
a_0=\frac{2}{2\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac{\pi}{2}.
Portanto o termo constante da série será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usando L=2\pi a fórmula fica
a_n=\frac{2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2\pi}\right)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\cos\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx.
Como f(x)=x em (0,\pi) e f(x)=0 em (\pi,2\pi), a integral reduz a
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx.
Agora faço a integral por partes. Seja k=\dfrac{n}{2}. Então precisamos calcular \int_0^\pi x\cos(kx)\,dx. Aplicando integração por partes com u=x, dv=\cos(kx)\,dx:
\int x\cos(kx)\,dx = x\cdot\frac{\sin(kx)}{k} - \int \frac{\sin(kx)}{k}\,dx = \frac{x\sin(kx)}{k} + \frac{\cos(kx)}{k^2} + C.
Avalio de 0 a \pi:
\int_0^\pi x\cos(kx)\,dx = \left[\frac{x\sin(kx)}{k} + \frac{\cos(kx)}{k^2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi\sin(k\pi)}{k} + \frac{\cos(k\pi)-1}{k^2}.
Voltando k=\dfrac{n}{2}, temos \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) e \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big). Substituindo na fórmula de a_n:
a_n=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n/2} + \frac{\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)-1}{(n/2)^2}\right).
Simplificando os fatores n/2 e (n/2)^2:
a_n=\frac{2}{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{4}{\pi n^2}\Big(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\Big).

Passo 5

Interpretação e simplificação dos coeficientes dependentes de n módulo 4. É útil entender os valores de \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) e \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big):
  • Se n\equiv 0\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=1. Então a_n=0.
  • Se n\equiv 1\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=1, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0. Então a_n=\frac{2}{n}-\frac{4}{\pi n^2}.
  • Se n\equiv 2\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=-1. Então a_n=\frac{4}{\pi n^2}(-1-1)= -\frac{8}{\pi n^2}.(Note que essa expressão pode ser reescrita para n=2m como a_{2m}=\dfrac{(-1)^m-1}{\pi m^2}, que dá zero quando m é par e -\dfrac{2}{\pi m^2} quando m é ímpar — ambos equivalentes.)
  • Se n\equiv 3\pmod 4: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=-1, \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0. Então a_n=-\frac{2}{n}-\frac{4}{\pi n^2}.
Essas fórmulas dão a compreensão prática de quais termos aparecem e seus sinais.

Passo 6

Escrever a série de cossenos final (forma compacta). Substituindo a_0 e a_n na fórmula geral, a série de cossenos de período 4\pi é
f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{4}{\pi n^2}\Big(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\Big)\right]\cos\!\left(\frac{n x}{2}\right).
Esta é a resposta direta pedida: é a série de cossenos com L=2\pi (note o argumento \dfrac{n x}{2}=\dfrac{n\pi x}{L} com L=2\pi).

Passo 7

Para qual função a série converge? Regra geral: a expansão de cossenos em [[0,L]) produz a extensão par de f e periódica de período 2L. Aqui L=2\pi, logo a série converge para a extensão par de f com período 4\pi. Posso descrever essa função explícita num período padrão [-2\pi,2\pi]:
No intervalo (- \pi,\pi) a extensão par coincide com |x| (porque para 0<x<\pi tínhamos f(x)=x, e a reflexão par dá f(x)=|x| em (- \pi,\pi)). Nos intervalos (\pi,2\pi) e (-2\pi,-\pi) a função vale 0. Assim, numa forma compacta, a função periódica g(x) (com período 4\pi) para a qual a série converge é:
g(x+4k\pi)= \begin{cases} 0, & \text{se } 2k\pi+\pi<x<2k\pi+2\pi\quad(\text{equivalente a } \pi<x-4k\pi<2\pi),\\[4pt] |x-4k\pi|, & \text{se } -\pi<x-4k\pi<\pi, \end{cases}
para todo inteiro k\]. (Em palavras: em cada período de comprimento \(4\pi a função é zero na faixa externa de comprimento \pi à direita e à esquerda, e tem o formato |x| central no intervalo de comprimento 2\pi centrado no meio do período.) Nos pontos de descontinuidade (por exemplo x=\pm\pi mais múltiplos de 2\pi) a série converge ao valor médio dos limites laterais (por exemplo em x=\pi o valor é \tfrac{\pi+0}{2}=\tfrac{\pi}{2}).]

Passo 8

Como esboçar o gráfico em um intervalo de três períodos (descrição prática para desenhar na prova): cada período tem comprimento 4\pi. Pegue um eixo horizontal e marque intervalos de comprimento 4\pi. Em cada período, faça o seguinte padrão:
  • No terço esquerdo do período (intervalo de comprimento \pi): valor zero.
  • No centro (intervalo de comprimento 2\pi, simetricamente centrado), desenhe um “V” que é a função |x - x_0| onde x_0 é o centro do período; esse “V” vai de altura 0 no ponto central do período até altura \pi nos pontos onde encontra a região zero.
  • No terço direito do período (intervalo de comprimento \pi): valor zero.
    Repita esse padrão três vezes (três períodos). Lembre:
  • Nos pontos de transição entre a parte triangular e a parte zero existe uma descontinuidade (salto) de \pi para 0; no gráfico marque esses saltos verticalmente (na série a esses pontos a soma vale a média, \pi/2).
  • No centro de cada período (ponto médio) a função atinge máximo local \pi (picos dos “V” em cada período).
    Com isso você tem o esboço completo para três períodos consecutivos.

Resposta

[\displaystyle f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n}\sin!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{4}{\pi n^2}\Big(\cos!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\Big)\right]\cos!\left(\frac{n x}{2}\right).)
A série converge para a extensão par e 4\pi-periódica de f; num período padrão [-2\pi,2\pi] essa função é
g(x)= \begin{cases} 0, & -2\pi<x<- \pi,\\[4pt] |x|, & -\pi<x<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<x<2\pi, \end{cases}
e estende-se com período 4\pi\]. Nos pontos de descontinuidade (ex.: \(x=\pm\pi mais múltiplos de 2\pi) a série toma o valor médio dos limites laterais (ex.: \pi/2 em x=\pi).
Gráfico em três períodos: repetir três vezes o padrão acima (cada período de comprimento 4\pi): zeros nas faixas externas de comprimento \pi, e no intervalo central de comprimento 2\pi um “V” dado por |x-x_0| que atinge altura \pi nas junções com as faixas zero; repetir esse bloco 3 vezes ao longo do eixo.]

Exercícios relacionados