2- Prove que se
, então
é uma singularidade atratora do campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para provar que, se
, então o ponto
é uma singularidade atratora do campo.
Informações relevantes fornecidas:
é um parâmetro real com
.
é outro parâmetro real (qualquer valor).
O campo tem termos lineares em
e termos quadráticos
e
.
A pergunta é: mostrar que é uma singularidade atratora (isto é, um equilíbrio que atrai soluções próximas quando
).
Informações relevantes fornecidas:
O campo
A pergunta é: mostrar que
Passo 2
Verifico primeiro que
é um equilíbrio (singularidade) do campo: basta avaliar
em
.
Portanto
é realmente um ponto crítico do sistema.
Passo 3
Vou construir uma função de Lyapunov simples e natural: a “energia” quadrática
Explico por que escolho
: é uma função escalar que é positiva para todo
e zero em
. Em sinais gerais, para testar estabilidade, procuramos uma
positiva definida cuja derivada ao longo das trajetórias seja negativa definida. Se isso ocorrer, temos atração (estabilidade assintótica).
Passo 4
Calculo a derivada de
ao longo das trajetórias do sistema. A derivada de
ao longo de uma solução segue a regra
onde
. Então
Agora desenvolvo e simplifico termo a termo:
Observe que os termos
e
se cancelam, e também
e
se cancelam; sobra apenas a parte linear multiplicada por
.
Passo 5
Agora uso o resultado obtido. Escrevo
de forma compacta:
Como
, para todo
temos
. Assim
é positiva definida e
é negativa definida numa vizinhança de
(na verdade globalmente). Pelo Teorema de Lyapunov (versão direta): se existe
positiva definida com
negativa definida, então o equilíbrio é assintoticamente estável — ou seja, é uma singularidade atratora. Vou resumir o conteúdo do teorema em palavras: uma “energia” que decresce estritamente ao longo das trajetórias força as soluções próximas a descerem essa energia e tenderem para o mínimo (aqui
).
Passo 6
Posso até fortalecer a conclusão: como
, noto que para
vale
Isto é uma equação linear escalar para
que se integra explicitamente:
Como
,
quando
, logo
. Assim as trajetórias convergem exponencialmente para a origem — a atração é até global (todas as condições onde a solução existe) e exponencial.
Passo 7
Concluo com a interpretação: para
o ponto
é um equilíbrio, existe uma função de Lyapunov que decresce estritamente ao longo das trajetórias, e as normas das soluções decaem exponencialmente para zero. Portanto
é uma singularidade atratora do campo.