2- Prove que se \alpha<0, então (0,0) é uma singularidade atratora do campo
X(x, y)=\left(\alpha x-\beta y+y^{2}, \beta x+\alpha y-x y\right) .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
X(x,y)=\big(\alpha x-\beta y+y^{2},\;\beta x+\alpha y-x y\big)
e pede para provar que, se \alpha<0, então o ponto (0,0) é uma singularidade atratora do campo.
Informações relevantes fornecidas:
\alpha é um parâmetro real com \alpha<0.
\beta é outro parâmetro real (qualquer valor).
O campo X tem termos lineares em x,y e termos quadráticos y^{2} e -x y.
A pergunta é: mostrar que (0,0) é uma singularidade atratora (isto é, um equilíbrio que atrai soluções próximas quando \alpha<0).

Passo 2

Verifico primeiro que (0,0) é um equilíbrio (singularidade) do campo: basta avaliar X em (0,0).
X(0,0)=\big(\alpha\cdot 0-\beta\cdot 0+0^{2},\;\beta\cdot 0+\alpha\cdot 0-0\cdot 0\big)=(0,0).
Portanto (0,0) é realmente um ponto crítico do sistema.

Passo 3

Vou construir uma função de Lyapunov simples e natural: a “energia” quadrática
V(x,y)=\tfrac{1}{2}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Explico por que escolho V: é uma função escalar que é positiva para todo (x,y)\neq(0,0) e zero em (0,0). Em sinais gerais, para testar estabilidade, procuramos uma V positiva definida cuja derivada ao longo das trajetórias seja negativa definida. Se isso ocorrer, temos atração (estabilidade assintótica).

Passo 4

Calculo a derivada de V ao longo das trajetórias do sistema. A derivada de V ao longo de uma solução segue a regra
\dot V(x,y)=\nabla V(x,y)\cdot X(x,y),
onde \nabla V=(\partial V/\partial x,\partial V/\partial y)=(x,y). Então
\dot V(x,y)=x\big(\alpha x-\beta y+y^{2}\big)+y\big(\beta x+\alpha y-x y\big).
Agora desenvolvo e simplifico termo a termo:
\begin{aligned} \dot V(x,y)&= \alpha x^{2}-\beta x y + x y^{2} + \beta x y + \alpha y^{2} - x y^{2}\\\ &= \alpha x^{2}+\alpha y^{2}. \end{aligned}
Observe que os termos -\beta x y e +\beta x y se cancelam, e também +x y^{2} e -x y^{2} se cancelam; sobra apenas a parte linear multiplicada por \alpha.

Passo 5

Agora uso o resultado obtido. Escrevo \dot V de forma compacta:
\dot V(x,y)=\alpha\big(x^{2}+y^{2}\big).
Como \alpha<0, para todo (x,y)\neq(0,0) temos \dot V(x,y)<0. Assim V é positiva definida e \dot V é negativa definida numa vizinhança de (0,0) (na verdade globalmente). Pelo Teorema de Lyapunov (versão direta): se existe V positiva definida com \dot V negativa definida, então o equilíbrio é assintoticamente estável — ou seja, é uma singularidade atratora. Vou resumir o conteúdo do teorema em palavras: uma “energia” que decresce estritamente ao longo das trajetórias força as soluções próximas a descerem essa energia e tenderem para o mínimo (aqui (0,0)).

Passo 6

Posso até fortalecer a conclusão: como \dot V=\alpha(x^{2}+y^{2}), noto que para r^{2}(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t) vale
\frac{d}{dt}r^{2}(t)=2\alpha\,r^{2}(t).
Isto é uma equação linear escalar para r^{2} que se integra explicitamente:
r^{2}(t)=r^{2}(0)\,e^{2\alpha t}.
Como \alpha<0, e^{2\alpha t}\to 0 quando t\to +\infty, logo r(t)\to 0. Assim as trajetórias convergem exponencialmente para a origem — a atração é até global (todas as condições onde a solução existe) e exponencial.

Passo 7

Concluo com a interpretação: para \alpha<0 o ponto (0,0) é um equilíbrio, existe uma função de Lyapunov que decresce estritamente ao longo das trajetórias, e as normas das soluções decaem exponencialmente para zero. Portanto (0,0) é uma singularidade atratora do campo.

Resposta

(0,0) é uma singularidade atratora (estável assintoticamente).

Exercícios relacionados