Observação: a dimensão do espaço próprio é 1 (uma única direção), então a matriz não é diagonalizável — temos autovalor repetido com um único autovetor. Isso exige usar um autovetor generalizado para escrever a solução geral.]
Passo 5
Precisamos achar um vetor generalizado v_2 tal que
(A+3I)v_2 = v_1,
ou seja (A-\lambda I)v_2=v_1. Escrevendo v_2=(w_1,w_2)^T, a equação (A+3I)v_2=v_1 é
Agora explico a forma da solução quando temos um bloco de Jordan 2\times2 (autovalor \lambda com multiplicidade 2 e apenas um autovetor). Para esse caso existe uma fórmula geral:
onde v_1 é o autovetor, v_2 é o vetor generalizado satisfazendo (A-\lambda I)v_2=v_1, e c_1,c_2 são constantes a determinar pela condição inicial. A ideia vem do fato de que, na base (v_1,v_2), A tem a forma de uma matriz de Jordan \begin{pmatrix}\lambda & 1\\[4pt]0 & \lambda\end{pmatrix}, cujo exponencial é e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
No nosso caso \lambda=-3, v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}\tfrac14\\[4pt]0\end{pmatrix}. Portanto a solução geral é
Aplicamos a condição inicial x(0)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}\). Em \(t=0\) a expressão acima dá
\[x(0)=c_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}\tfrac14\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Da segunda equação temos (c_1=2]. Substituindo na primeira, 2+\tfrac{1}{4}c_2=3 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{4}c_2=1 \quad\Longrightarrow\quad c_2=4.]
Passo 8
Substituindo c_1=2 e c_2=4 na solução geral obtemos