Determine a Série de Maclaurin para
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em
) da função
Informações dadas:
Pergunta clara: encontrar a expressão em série de potências ao redor de
(a série de Maclaurin) para
.
Passo 2
O que é a série de Maclaurin? É a série de Taylor de uma função centrada em
. A fórmula geral é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(produto de
até
). Essa série, quando converge, representa a função perto de
. Aqui vamos usar essa ideia (diretamente ou por substituição numa série conhecida).
Passo 3
Lembrando a série de Maclaurin conhecida para o cosseno: para qualquer variável real
,
Explicação rápida: o cosseno é uma função par (aparece somente potências pares
) e os sinais alternam conforme
; essa é uma expansão padrão que se obtém aplicando a fórmula de Maclaurin a
ou reconhecendo o padrão das derivadas.
Passo 4
Observação sobre
: o cosseno é função par, isto é,
para todo
. Portanto
Isso permite usar a série de
com
.
Passo 5
Substituindo
na série de
obtemos
Aqui expliquei cada parte:
é o índice da soma (começa em
e vai até infinito),
representa as potências pares da variável
multiplicadas pela constante
, e
é o fatorial correspondente.
Passo 6
Simplificando a potência
para separar a parte que depende de
:
Assim a série fica
Passo 7
Escrevendo os primeiros termos explícitos (para me acostumar com o formato e para a prova é útil memorizar alguns termos):
Calculando
,
,
e simplificando alguns fatoriais, dá
(esses coeficientes vêm de
com o sinal
.)
Passo 8
Breve verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): calcule as derivadas de
em
. Temos
o padrão é
e
. Aplicando a fórmula de Maclaurin
recuperamos exatamente
.
Passo 9
Sobre convergência:
é função inteira (analítica em todo
), então a série de Maclaurin converge para a função para todo
(raio de convergência infinito). Na prática, na prova basta citar que a série de
converge para todo
e a substituição por
mantém essa propriedade.