Determine a Série de Maclaurin para f(x)
f(x)=\cos (-3 x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) da função
f(x)=\cos(-3x).
Informações dadas:
\text{função: }f(x)=\cos(-3x).çã
Pergunta clara: encontrar a expressão em série de potências ao redor de x=0 (a série de Maclaurin) para f(x).

Passo 2

O que é a série de Maclaurin? É a série de Taylor de uma função centrada em 0. A fórmula geral é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0, e n! é o fatorial de n (produto de 1 até n). Essa série, quando converge, representa a função perto de 0. Aqui vamos usar essa ideia (diretamente ou por substituição numa série conhecida).

Passo 3

Lembrando a série de Maclaurin conhecida para o cosseno: para qualquer variável real t,
\cos t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n)!}.
Explicação rápida: o cosseno é uma função par (aparece somente potências pares t^{2n}) e os sinais alternam conforme (-1)^n; essa é uma expansão padrão que se obtém aplicando a fórmula de Maclaurin a \cos t ou reconhecendo o padrão das derivadas.

Passo 4

Observação sobre \cos(-3x): o cosseno é função par, isto é,
\cos(-u)=\cos(u)
para todo u. Portanto
\cos(-3x)=\cos(3x).
Isso permite usar a série de \cos t com t=3x.

Passo 5

Substituindo t=3x na série de \cos t obtemos
\cos(-3x)=\cos(3x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(3x)^{2n}}{(2n)!}.
Aqui expliquei cada parte: n é o índice da soma (começa em 0 e vai até infinito), (3x)^{2n} representa as potências pares da variável x multiplicadas pela constante 3, e (2n)! é o fatorial correspondente.

Passo 6

Simplificando a potência (3x)^{2n} para separar a parte que depende de x:
(3x)^{2n}=3^{2n}x^{2n}.
Assim a série fica
\cos(-3x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 7

Escrevendo os primeiros termos explícitos (para me acostumar com o formato e para a prova é útil memorizar alguns termos):
\cos(-3x)=1-\frac{(3x)^2}{2!}+\frac{(3x)^4}{4!}-\frac{(3x)^6}{6!}+\cdots
Calculando 3^{2}=9, 3^{4}=81, 3^{6}=729 e simplificando alguns fatoriais, dá
\cos(-3x)=1-\frac{9}{2}x^{2}+\frac{27}{8}x^{4}-\frac{81}{80}x^{6}+\cdots.
(esses coeficientes vêm de \dfrac{3^{2n}}{(2n)!} com o sinal (-1)^n.)

Passo 8

Breve verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): calcule as derivadas de f(x)=\cos(3x) em 0. Temos
f(0)=1,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=-9,\quad f^{(3)}(0)=0,\quad f^{(4)}(0)=81,\dots
o padrão é f^{(2n)}(0)=(-1)^n 3^{2n} e f^{(2n+1)}(0)=0. Aplicando a fórmula de Maclaurin \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n recuperamos exatamente \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 9

Sobre convergência: \cos(3x) é função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), então a série de Maclaurin converge para a função para todo x (raio de convergência infinito). Na prática, na prova basta citar que a série de \cos converge para todo x e a substituição por 3x mantém essa propriedade.

Resposta

\cos(-3x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}
\cos(-3x)=1-\frac{9}{2}x^{2}+\frac{27}{8}x^{4}-\frac{81}{80}x^{6}+\cdots

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