Determinar um sistema completo de restos p1, p2, p3 módulo 3 tal que cada pi é um número primo. É possível, nas mesmas condições, determinar um sistema p1, p2, p3, p4 módulo 4 ?

Passo 1

O enunciado pede um sistema completo de restos módulo 3 formado por três números primos p1,p2,p3 de modo que eles cubram todas as classes em 0,1,2 módulo 3, e depois pergunta se podemos fazer o mesmo módulo 4 com quatro primos.

Passo 2

Para módulo 3, observamos que todo primo pneq3 satisfaz
pequiv1pmod3 ou pequiv2pmod3,
enquanto o único primo que é 0 em módulo 3 é p=3. Logo, precisamos de:
  • Um primo que caia em 0pmod3, necessariamente 3.
  • Um primo que caia em 1pmod3, por exemplo 7 pois 7equiv1pmod3.
  • Um primo que caia em 2pmod3, por exemplo 5 pois 5equiv2pmod3.
    Portanto, um sistema completo de restos módulo 3 é
p1,p2,p3 = 3,,7,,5,
pois
3equiv0, 7equiv1, 5equiv2 pmod3

Passo 3

Agora, para módulo 4, as classes são 0,1,2,3. Quais primos aparecem em cada classe?
  • O único primo par é 2, e 2equiv2pmod4.
  • Todo outro primo é ímpar, logo pode ser apenas 1pmod4 ou 3pmod4.
  • Não existe primo (maior que 2) que seja 0pmod4.
    Como não há primo que caia em 0pmod4, é impossível obter um sistema de quatro primos que cubra as quatro classes 0,1,2,3 em módulo 4.

Resposta

Um exemplo módulo 3 é 3,7,5.
Não é possível formar um sistema p1,p2,p3,p4 módulo 4 com todos pi primos.

Exercícios relacionados