Determinar um sistema completo de restos
módulo 3 tal que cada
é um número primo. É possível, nas mesmas condições, determinar um sistema
módulo 4 ?
Passo 1
O enunciado pede um sistema completo de restos módulo 3 formado por três números primos
de modo que eles cubram todas as classes em
módulo 3, e depois pergunta se podemos fazer o mesmo módulo 4 com quatro primos.
Passo 2
Para módulo 3, observamos que todo primo
satisfaz
enquanto o único primo que é
em módulo 3 é
. Logo, precisamos de:
- Um primo que caia em
, necessariamente . - Um primo que caia em
, por exemplo pois . - Um primo que caia em
, por exemplo pois .
Portanto, um sistema completo de restos módulo 3 é
pois
Passo 3
Agora, para módulo 4, as classes são
. Quais primos aparecem em cada classe?
- O único primo par é
, e . - Todo outro primo é ímpar, logo pode ser apenas
ou . - Não existe primo (maior que 2) que seja
.
Como não há primo que caia em, é impossível obter um sistema de quatro primos que cubra as quatro classes em módulo 4.
Resposta
Um exemplo módulo 3 é
.
Não é possível formar um sistema módulo 4 com todos
primos.
Não é possível formar um sistema