Considere o inteiro x cuja representação no sistema decimal é 1 a 453. Determine a para que 11 mid x.

Passo 1

O enunciado nos dá um inteiro x de cinco dígitos cuja escrita decimal é
x = 1,a,4,5,3
e pede o valor de a de modo que 11mid x. Vamos usar o critério de divisibilidade por 11, que diz que um número é múltiplo de 11 se, e somente se, a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares (contando da direita para a esquerda) for múltiplo de 11.

Passo 2

Identifiquemos os dígitos de x e suas posições contadas da direita:
c|ccccc posição (da direita)&1&2&3&4&5hline dígito&3&5&4&a&1 çãí
As posições ímpares são 1, 3 e 5; as pares são 2 e 4.

Passo 3

Calculemos as somas:
soma ímpar = 3 + 4 + 1 = 8, í
soma par = 5 + a = a + 5

Passo 4

Pelo critério de 11, deve-se ter
soma ímpar - soma par equiv 0 pmod11 í
Substituindo,
8 - (a+5) equiv 0 pmod11 Longrightarrow 3 - a equiv 0 pmod11 Longrightarrow a equiv 3 pmod11
Como a é um dígito 0,1,dots,9, a única solução é a=3.

Resposta

a = 3

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