Resolva a congruência linear 21 x equiv 15(bmod 39).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
21x equiv 15 pmod39
O conteúdo envolve cálculo de gcd, teste de existência de solução (divisibilidade) e inverso modular.

Passo 2

Calculemos d = gcd(21,39) pelo algoritmo de Euclides:
39 = 21 cdot 1 + 18, 21 = 18 cdot 1 + 3, 18 = 3 cdot 6 + 0,
logo d = 3.

Passo 3

Verificamos que d=3 divide 15, então existem soluções. Dividindo toda a congruência por 3, obtemos
7x equiv 5 pmod13

Passo 4

Precisamos do inverso de 7 módulo 13. Testando, vemos que
7 cdot 2 = 14 equiv 1 pmod13,
portanto ,7^-1equiv2pmod13. Multiplicando a congruência por 2, vem
x equiv 2cdot5 = 10 pmod13

Passo 5

A solução geral na classe módulo 13 é
x = 10 + 13k, kinZ
Como o módulo original é 39 e gcd=3, obtemos três soluções distintas módulo 39, correspondentes a k=0,1,2:
x equiv 10,;23,;36 pmod39

Resposta

As soluções da congruência são
x equiv 10 + 13k, k=0,1,2,
ou, de forma explícita,
x equiv 10,;23,;36 pmod39

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