Determinar a solução da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar técnicas de variáveis separáveis ou um método de fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar deixar a equação na forma padrão. Para isso, vamos dividir tudo por $ x $ (sabendo que $ x \neq 0 $):
Agora, temos uma equação que se parece com uma equação linear, mas o termo $ y^{\frac{4}{3}} $ complica um pouco. Vamos ver se podemos simplificar isso.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir $ z = y^{-\frac{1}{3}} $. Por que? Porque isso pode simplificar a parte não linear.
Então,
Agora, precisamos achar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ z $:
Passo 4
Vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar toda a equação por $ z^4 $ para eliminar os termos com frações:
Rearranjando:
Dividindo por -3:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em $ z $:
Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Então,
Passo 9
Lembrando que $ z = y^{-\frac{1}{3}} $, temos:
Elevando ambos os lados à potência de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.