Determinar a solução da EDO:
x d yd x+6 y=3 x y^43

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
x dydx + 6 y = 3 x y^43
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar técnicas de variáveis separáveis ou um método de fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar a equação na forma padrão. Para isso, vamos dividir tudo por $ x $ (sabendo que $ x \neq 0 $):
x
Agora, temos uma equação que se parece com uma equação linear, mas o termo $ y^{\frac{4}{3}} $ complica um pouco. Vamos ver se podemos simplificar isso.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir $ z = y^{-\frac{1}{3}} $. Por que? Porque isso pode simplificar a parte não linear.
Então,
z = y^-13
Agora, precisamos achar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ z $:
y = z^-3

Passo 4

Vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação original:
y
Simplificando:
dydx

Passo 5

Agora, vamos multiplicar toda a equação por $ z^4 $ para eliminar os termos com frações:
z^4
Rearranjando:
-3 dzdx + 6x z = 3
Dividindo por -3:
-3 dzdx = 3 - 6x z

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em $ z $:
z
Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é:
dzdx - 2x z = -1

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^-2 dzdx - 2x^3 z = -x^-2
Isso pode ser reescrito como:
ddx (x^-2 z) = -x^-2

Passo 8

Integrando ambos os lados:
x^-2 z = integral -x^-2 dx = x^-1 + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Então,
C

Passo 9

Lembrando que $ z = y^{-\frac{1}{3}} $, temos:
z = y^-13
Elevando ambos os lados à potência de y^-13 = 1 + Cx :
-3

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = 1(1 + Cx)^3
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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