Determinar a solução da EDO:
x d yd x=y+x e^yx, x neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
x d yd x = y + x e^yx, x neq 0
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição para simplificar a equação. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a resolução. Note que temos $ \frac{y}{x} $ na equação. Então, vamos definir:
yx
Isso significa que $ y = z x $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ y = z x $ em relação a $ x $:
y = z x
Substituímos isso de volta na EDO original.

Passo 4

Substituindo $ \frac{d y}{d x} $ na equação:
d yd x
Simplificando:
x ( z + x d zd x ) = z x + x e^z

Passo 5

Vamos eliminar termos iguais dos dois lados. Subtraindo $ x z $ de ambos os lados:
x z
Agora, dividimos ambos os lados por $ x^2 $:
x^2 d zd x = x e^z

Passo 6

Essa equação está separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ z $ e $ x $. Reorganizando:
z
Agora, vamos integrar os dois lados.

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral d ze^z = integral d xx
A integral do lado esquerdo é $ -e^{-z} $ e a do lado direito é $ \ln |x| $ mais uma constante de integração $ C $:
-e^-z

Passo 8

Vamos resolver para $ z $:
z
Multiplicando ambos os lados por -1:
e^-z = -ln |x| + C
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
e^-z = C - ln x
Multiplicando por -1:
-z = ln(C - ln x)

Passo 9

Lembrando que $ z = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
z = yx
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
yx = -ln(C - ln x)
Podemos reescrever $ C $ como uma nova constante $ K $, já que $ C $ é apenas uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = -x ln(K - ln x)
onde $ K $ é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados