Determinar a solução da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição para simplificar a equação. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a resolução. Note que temos $ \frac{y}{x} $ na equação. Então, vamos definir:
Isso significa que $ y = z x $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ y = z x $ em relação a $ x $:
Substituímos isso de volta na EDO original.
Passo 4
Substituindo $ \frac{d y}{d x} $ na equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos eliminar termos iguais dos dois lados. Subtraindo $ x z $ de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por $ x^2 $:
Passo 6
Essa equação está separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ z $ e $ x $. Reorganizando:
Agora, vamos integrar os dois lados.
Passo 7
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é $ -e^{-z} $ e a do lado direito é $ \ln |x| $ mais uma constante de integração $ C $:
Passo 8
Vamos resolver para $ z $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Passo 9
Lembrando que $ z = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
Podemos reescrever $ C $ como uma nova constante $ K $, já que $ C $ é apenas uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ K $ é uma constante arbitrária.