Determine a solução do PVI, dado por:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um problema de valor inicial (PVI) que nos dá uma equação diferencial e uma condição específica para $ y $ quando $ t = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolvê-las. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar a solução geral da equação e, depois, ajustar com a condição inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Aqui, $ P(t) = 2 $ e $ Q(t) = t e^{-2t} $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação diferencial. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $. Isso fica assim:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $ para encontrar $ y $:
A integração do lado esquerdo simplesmente nos dá $ e^{2t} y $, e a do lado direito dá $ \frac{t^2}{2} + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar $ y $, vamos dividir ambos os lados por $ e^{2t} $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar o valor da constante $ C $. Substituindo $ t = 1 $ e $ y = 0 $ na solução geral:
Simplificando:
Passo 9
Isolando $ C $:
Dividindo ambos os lados por $ e^{-2} $:
Resposta
Substituindo o valor de $ C $ na solução geral, temos a solução do PVI:
Ou, fatorando $ e^{-2t} $: