Determine a solução do PVI, dado por:
PVI : ccc y^prime+2 y & =t e^-2 t y(1) & =0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um problema de valor inicial (PVI) que nos dá uma equação diferencial e uma condição específica para $ y $ quando $ t = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolvê-las. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar a solução geral da equação e, depois, ajustar com a condição inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
y' + 2y = t e^-2t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
y' + P(t)y = Q(t)
Aqui, $ P(t) = 2 $ e $ Q(t) = t e^{-2t} $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação diferencial. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Simplificando o lado direito:
e^2t y' + 2 e^2t y = t e^-2t cdot e^2t

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $. Isso fica assim:
mu(t) y

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $ para encontrar $ y $:
t
A integração do lado esquerdo simplesmente nos dá $ e^{2t} y $, e a do lado direito dá $ \frac{t^2}{2} + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
y

Passo 7

Para encontrar $ y $, vamos dividir ambos os lados por $ e^{2t} $:
y
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar o valor da constante $ C $. Substituindo $ t = 1 $ e $ y = 0 $ na solução geral:
y(1) = 0
Simplificando:
C

Passo 9

Isolando $ C $:
C
Dividindo ambos os lados por $ e^{-2} $:
C e^-2 = -12 e^-2

Resposta

Substituindo o valor de $ C $ na solução geral, temos a solução do PVI:
C
Ou, fatorando $ e^{-2t} $:
y(t) = t^22 e^-2t - 12 e^-2t

Exercícios relacionados