Determine a solução do PVI, dado por:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que é dado por:
Esse exercício envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente equações exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução que satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata. Temos:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.
Passo 5
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $ para encontrar $ h(y) $:
Comparando os termos:
Isso implica que:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x, y) $:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para determinar a constante $ C $:
Passo 8
Assim, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por: