Determine a solução do PVI, dado por:
PVI : y cos x+2 x e^y+(sen x+x^2 e^y-3) y^prime & =0 y(0) & =2

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que é dado por:
y cos x + 2x e^y + ( sen x + x^2 e^y - 3 ) y' &= 0 y(0) &= 2
Esse exercício envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente equações exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata. Temos:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Onde:
M(x, y) = y cos x + 2x e^y
N(x, y) = sin x + x^2 e^y - 3

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais.
Calculando:
M
y
Como N , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
partial Fpartial x = M(x, y)
Integrando termo a termo:
M(x, y)
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.

Passo 5

Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $ para encontrar $ h(y) $:
F(x, y)
Comparando os termos:
y
Isso implica que:
N(x, y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x, y) $:
h(y)

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para determinar a constante $ C $:
y(0) = 2

Passo 8

Assim, a solução geral da equação é:
x^2 e^y + y sin x - 3y = -6

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por:
x^2 e^y + y sin x - 3y = -6

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