Determinar a solução das Equações diferenciais lineares de 2^a Ordem a Coeficientes Constantes Homogêneas (equação Característica), dadas a seguir, pelo método Transformada de Laplace.
(b) d^2 yd t^2+4 d yd t-5 y=5 e^3 t para y(0)=1 e d yd x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea a coeficientes constantes
d^2ydt^2 + 4dydt - 5y = 5e^3t
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, usando
Ly(t)=Y(s),
Ly'(t)=sY(s)-y(0) e
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).
Temos então
l(s^2Y(s)-scdot1-0r) +4l(sY(s)-1r) -5Y(s) =5s-3

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando, obtemos
(s^2 + 4s - 5),Y(s) - (s + 4) = 5s-3 Longrightarrow (s^2 + 4s - 5),Y(s) = s + 4 + 5s-3

Passo 4

Isolando Y(s) e fatorando o polinômio quadrático s^2+4s-5=(s-1)(s+5), resulta
Y(s) = s+4(s-1)(s+5) ;+;5(s-3)(s-1)(s+5)
Colocando sobre denominador comum (s-3)(s-1)(s+5),
Y(s)=(s+4)(s-3)+5(s-3)(s-1)(s+5) =s^2+s-7(s-3)(s-1)(s+5)

Passo 5

Fazemos frações parciais na forma
s^2+s-7(s-3)(s-1)(s+5) =As-3+Bs-1+Cs+5
Para encontrar A,B,C, igualamos numeradores:
s^2+s-7 = A(s-1)(s+5)+B(s-3)(s+5)+C(s-3)(s-1)
Tomando s=3 5=16ARightarrow A=tfrac516;
para s=1 -5=-12,CRightarrow C=tfrac512;
para s=-5 13=48,BRightarrow B=tfrac1348.

Passo 6

Substituindo em Y(s) e invertendo a transformada de Laplace, vem
Y(s) =5161s-3 +13481s-1 +5121s+5
Longrightarrow
y(t) =516e^3t +1348e^t +512e^-5t

Resposta

boxedy(t)=516e^3t+1348e^t+512e^-5t

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