Use o 2^O Teorema da Translação para encontrar f(t) ou F(s) conforme o caso.
mathscrL^-1[e^-2 ss^3]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
mathscrL^-1l[e^-2sF(s)r]
com F(s)=tfrac1s^3.
O conteúdo envolvido é o 2º Teorema da Translação no domínio s, que diz:
Seja f(t) com mathscrLf(t)=F(s). Então
mathscrLf(t-a),u(t-a)=e^-a sF(s),
onde u(t-a) é a função de Heaviside deslocada.

Passo 2

Antes de aplicar o deslocamento, calculamos a transformada inversa básica
mathscrL^-1l[tfrac1s^3r]
Como sabemos que
mathscrLt^n=n!s^n+1,
para n=2 temos mathscrLt^2=2!/s^3=2/s^3. Logo
mathscrL^-1l[tfrac1s^3r] =mathscrL^-1l[tfrac12cdot2s^3r] =tfrac12t^2

Passo 3

Agora aplicamos o 2º Teorema da Translação com a=2. Como
F(s)=tfrac1s^3 Longrightarrow f(t)=tfrac12t^2,
então
mathscrL^-1l[e^-2s,tfrac1s^3r] =f(t-2),u(t-2) =12(t-2)^2,u(t-2)

Resposta

f(t)=12(t-2)^2,u(t-2)

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