Determinar a solução das Equações diferenciais lineares de 2^a Ordem a Coeficientes Constantes Homogêneas (equação Característica), dadas a seguir, pelo método Transformada de Laplace.
(c) d^2 yd x^2-2 d yd x+y=0 para y(0)=0 e d yd x(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial
d^2ydx^2 - 2,dydx + y = 0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=3. Vamos usar as fórmulas
Ly' = s,Y(s) - y(0) e
Ly'' = s^2,Y(s) - s,y(0) - y'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação homogênea:
Ly'' ;-; 2,Ly' ;+; Ly ;=;0
Substituindo as expressões e as condições iniciais:
l(s^2,Y(s) - s,y(0) - y'(0)r) ;-;2l(s,Y(s) - y(0)r) ;+;Y(s) ;=;0
l(s^2,Y(s) - 3r) ;-;2,s,Y(s) ;+;Y(s) ;=;0

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s):
l(s^2 - 2s + 1r),Y(s) ;=; 3
Logo
Y(s) ;=; 3(s-1)^2

Passo 4

Como Lx e^a x = tfrac1(s-a)^2 e aqui a=1, segue
y(x) ;=; L^-1Y(s) ;=; 3,x,e^x

Resposta

y(x) = 3,x,e^x

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