Um elétron oscila no centro de um anel de raio R com carga Q e paralelo ao eixo de simetria. Mostre que o período de oscilação do elétron é dado por:
T=2 pi raiz4 pi epsilon0 m R^3Q e

Passo 1

O enunciado diz que um elétron de massa m e carga -e oscila ao longo do eixo de simetria de um anel de raio R que carrega carga total Q. O objetivo é mostrar que, para pequenas oscilações em torno do centro ( x=0), o movimento é aproximadamente harmônico simples e determinar o período T. Vamos usar a expressão do campo elétrico no eixo de um anel carregado e fazer a expansão para xll R.

Passo 2

O campo elétrico gerado por um anel de raio R e carga Q sobre um ponto do seu eixo, a uma distância x do centro, vale
E(x) = 14piepsilon0 ;Q,xl(R^2+x^2r)^3/2,,
e está apontado para o centro quando x é pequeno.

Passo 3

A força sobre o elétron (carga -e) é
F(x) = (-e),E(x) = -,Q,e4piepsilon0 ;xl(R^2+x^2r)^3/2,

Passo 4

Para pequenas oscilações, xll R, podemos aproximar
l(R^2+x^2r)^3/2 approx R^3,
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F(x) approx -,Q,e4piepsilon0,R^3;x
Isso é exatamente a força restauradora de um movimento harmônico simples com constante elástica eficaz
krm eff = Q,e4piepsilon0,R^3

Passo 5

No MHS a força F=-krm eff,x implica período
T = 2pi raizmkrm eff = 2pi raizmQ,e4piepsilon0,R^3 = 2pi raiz4piepsilon0,m,R^3Q,e

Resposta

T = 2pi raiz4piepsilon0,m,R^3Q,e

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