Determinar a solução geral da equação diferencial y^{\prime}-4 t^{2} y=3 t^{2}. (1,2 pts)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 4\,t^{2}\,y = 3\,t^{2}.
O conteúdo é método do fator integrante para resolver equações da forma
y' + P(t)\,y = Q(t).

Passo 2

Identificamos P(t) = -4\,t^{2}. O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int -4\,t^{2}\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}\,t^{3}\Bigr).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t), obtendo
\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr)\,y' - 4\,t^{2}\,\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr)\,y = 3\,t^{2}\,\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr).
O lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)\,y, ou seja,
\frac{d}{dt}\Bigl(\exp\bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\bigr)\,y\Bigr) = 3\,t^{2}\,\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr)\,y = \int 3\,t^{2}\,\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr)\,dt + C.
Para a integral, fazemos u = -\tfrac{4}{3}t^{3}, de modo que du = -4\,t^{2}\,dt, ou t^{2}\,dt = -\tfrac{1}{4}\,du. Logo,
\int 3\,t^{2}\,e^{u}\,dt = 3\int e^{u}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)\,du = -\tfrac{3}{4}\,e^{u} = -\tfrac{3}{4}\,\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr).

Passo 5

Substituindo na expressão de \mu\,y:
\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr)\,y = -\tfrac{3}{4}\,\exp\Bigl(-\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr) + C.
Dividindo por \exp(-\tfrac{4}{3}t^{3}), obtemos
y(t) = -\tfrac{3}{4} + C\,\exp\Bigl(\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr).

Resposta

A solução geral é
y(t) = C\,\exp\Bigl(\tfrac{4}{3}t^{3}\Bigr) - \tfrac{3}{4},
onde C é constante arbitrária.

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