Resolva a equação de Bernoulli \frac{d y}{d x}-\frac{2}{x} \cdot y=3 x y^{3} \cdot(1,2 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y=3x\,y^{3}.
O conteúdo é a transformação de uma Bernoulli com n=3 em uma equação linear através de uma mudança de variável.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
onde aqui
P(x)=-\frac{2}{x},\quad Q(x)=3x,\quad n=3.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
v=y^{1-n}=y^{-2}.
Para relacionar dv/dx com dy/dx, derivamos:
\frac{dv}{dx}=(1-n)\,y^{-n}\,\frac{dy}{dx}=-2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por -2y^{-3}:
-2y^{-3}\frac{dy}{dx}+4x^{-1}y^{-2}=-6x.
Como -2y^{-3}dy/dx=dv/dx e y^{-2}=v, torna-se
\frac{dv}{dx}+\frac{4}{x}\,v=-6x,
que é uma equação linear em v.

Passo 5

Para resolver
\frac{dv}{dx}+\frac{4}{x}\,v=-6x
calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{4}{x}dx\Bigr)=x^{4}.
Multiplicando tudo por x^4 vem
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}v\bigr)=-6x^{5}.

Passo 6

Integramos em relação a x:
x^{4}v=\int -6x^{5}dx=-6\cdot\frac{x^{6}}{6}+C=-x^{6}+C,
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v=-x^{2}+C\,x^{-4}.

Passo 7

Voltando à variável y, como v=y^{-2}, temos
y^{-2}=-x^{2}+C\,x^{-4}=\frac{C-x^{6}}{x^{4}}.
Assim
y^{2}=\frac{x^{4}}{C-x^{6}},
e finalmente
y(x)=\pm\frac{x^{2}}{\sqrt{C-x^{6}}}.

Resposta

y(x)=\pm\frac{x^{2}}{\sqrt{C - x^{6}}},
sendo C a constante de integração.

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