Resolva o problema de valor inicial y^{\prime \prime}+y^{\prime}-12 y=0, sendo y(0)=-1 e y^{\prime}(0)=3.
(1,4 pts)

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 12y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 3. Para isso, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{rx}. Substituindo na EDO obtemos o polinômio característico
r^2 + r - 12 = 0.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2},
resultam as raízes
r_1 = 3, \quad r_2 = -4.

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-4x}.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = 3C_1 e^{3x} - 4C_2 e^{-4x}.
Em x = 0, as condições iniciais geram o sistema
C_1 + C_2 = -1
3C_1 - 4C_2 = 3
Da primeira equação vem C_1 = -1 - C_2. Substituindo na segunda:
3(-1 - C_2) - 4C_2 = 3 \;\Longrightarrow\; -3 - 3C_2 - 4C_2 = 3 \;\Longrightarrow\; -3 - 7C_2 = 3 \;\Longrightarrow\; 7C_2 = -6 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\tfrac{6}{7}.
Logo
C_1 = -1 - \bigl(-\tfrac{6}{7}\bigr) = -\tfrac{1}{7}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = -\frac{1}{7}e^{3x} - \frac{6}{7}e^{-4x}.

Resposta

y(x) = -\frac{1}{7}e^{3x} - \frac{6}{7}e^{-4x}.

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