Determinar a solução geral da equação não-homogênea.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x /(1+x^2), x in(-infty, infty)

Passo 1

Nesta questão temos a EDO linear não-homogênea de 2ª ordem
y'' - 2y' + y = e^-x1+x^2,
ou seja, o conteúdo é equação diferencial linear com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular via variação de parâmetros.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea
r^2 - 2r + 1 = 0
tem raiz dupla r=1. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = (C1 + C2 x)e^x

Passo 3

Para usar variação de parâmetros escolhemos as soluções fundamentais
y1(x) = e^x,
y2(x) = x e^x,
e calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 y2' - y1' y2 = e^x(e^x + x e^x) - e^x igl(x e^xr) = e^2x 
A fórmula diz:
u1'(x) = -y2(x),f(x)W(x),
u2'(x) = y1(x),f(x)W(x),
sendo f(x)=e^-x/(1+x^2).

Passo 4

Substituindo temos
nu1'(x) = -x e^xcdot e^-x(1+x^2)e^2x = -x(1+x^2)e^2x,
nu2'(x) = e^xcdot e^-x(1+x^2)e^2x = 1(1+x^2)e^2x
Integramos formalmente:
nu1(x) = -integral x e^-2x1+x^2,dx,
nu2(x) = integral e^-2x1+x^2,dx
Essas integrais não se expressam em funções elementares simples, então as deixamos em forma integral.

Passo 5

A solução particular fica
yp(x) = nu1(x),y1(x) + nu2(x),y2(x) = -e^x integral x e^-2x1+x^2,dx + x e^x integral e^-2x1+x^2,dx
Portanto a solução geral é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x
  • e^x \int \frac{x e{-2x}}{1+x2},dx
  • x e^x \int \frac{e{-2x}}{1+x2},dx

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