Determinar a solução geral da equação não-homogênea.
Passo 1
Nesta questão temos a EDO linear não-homogênea de 2ª ordem
ou seja, o conteúdo é equação diferencial linear com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular via variação de parâmetros.
Passo 2
A equação característica associada à parte homogênea
tem raiz dupla
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para usar variação de parâmetros escolhemos as soluções fundamentais
e calculamos o Wronskiano
A fórmula diz:
sendo
.
Passo 4
Substituindo temos
Integramos formalmente:
Essas integrais não se expressam em funções elementares simples, então as deixamos em forma integral.
Passo 5
A solução particular fica
Portanto a solução geral é a soma de
com
.
Resposta
y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x
- e^x \int \frac{x e{-2x}}{1+x2},dx
- x e^x \int \frac{e{-2x}}{1+x2},dx