Determinar a solução geral das Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de 2^a Ordem a coeficientes constantes (equação Característica), dadas a seguir, pelo método proposto para resolver este tipo de equações.
d^2 yd x^2+d yd x-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 + dydx - 2y = 0
O conteúdo aqui é o método da equação característica, que consiste em supor uma solução da forma y=e^rx.

Passo 2

Supondo y=e^rx, temos
d ydx=r e^rx, d^2ydx^2=r^2e^rx
Substituindo na EDO vem
r^2e^rx + r e^rx - 2e^rx = 0 Longrightarrow e^rxl(r^2+r-2r)=0
Como e^rxneq0, a equação característica é
r^2 + r - 2 = 0

Passo 3

Para resolver
r^2+r-2=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -1pmraiz1+82 = -1pm32
Assim obtemos as raízes reais e distintas
r1=1, r2=-2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
onde e ãá

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^-2x

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