Determinar a solução geral das Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de 2^a Ordem a coeficientes constantes (equação Característica), dadas a seguir, pelo método proposto para resolver este tipo de equações.
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes
d^2ydx^2 ;-;4,dydx;+;4,y ;=;0
Usamos o método do polinômio característico, que consiste em substituir y=e^r x e obter uma equação para r.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na equação, temos
r^2 e^r x ;-;4,r,e^r x;+;4,e^r x=0
Como e^r xneq0, dividimos por e^r x e obtemos o polinômio característico:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot4 = 16-16 = 0,
logo há uma raiz real dupla. Resolvendo
r = 4 pm raizDe<a2 = 42 = 2
com multiplicidade 2.

Passo 4

Quando o polinômio tem uma raiz r=2 de ordem 2, a solução geral é dada por
y(x) = C1,e^2x ;+; C2,x,e^2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1e^2x+C2x,e^2x

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