Questão 2 ( 2,5 pontos) Derive a função.
f(x)=(1-x^-1)^-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(1 - x^-1r)^-1
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois f é a composição da função recíproco umapsto u^-1 com a função interna xmapsto1 - x^-1.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 1 - x^-1,
de modo que f(x)=u(x)^-1. Pela regra da cadeia,
f'(x) = -,u(x)^-2cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como
u(x)=1 - x^-1,
temos
u'(x)=0 - l(-1r)x^-2=x^-2
Logo,
f'(x) = -,u(x)^-2cdot x^-2

Passo 4

Substituímos de volta u(x)=1 - x^-1:
f'(x) = -,x^-2l(1 - x^-1r)^-2

Passo 5

Para simplificar, note que
1 - x^-1 = x-1x Longrightarrow l(1 - x^-1r)^2 = (x-1)^2x^2
Assim,
f'(x) = -,x^-2(x-1)^2/x^2 = -,1(x-1)^2

Resposta

f'(x) = -1(x-1)^2

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