Faça a parametrização das seguintes superfícies, de 3 maneiras diferentes, utilizando-se de coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas: plano, disco, cilindro, esfera, elipsoide fora do centro, cone, e paraboloide.

Passo 1

O enunciado nos pede para exibir três parametrizações distintas – usando coordenadas cartesianas (parâmetros u,v), coordenadas cilíndricas (r,theta) e coordenadas esféricas (rho,phi,theta) – para cada uma das seguintes superfícies:
– Plano z=0
– Disco de raio R em z=0
– Cilindro de raio a (eixo z)
– Esfera de raio R (centro na origem)
– Elipsoide fora do centro (x-x0)^2a^2+(y-y0)^2b^2+(z-z0)^2c^2=1
– Cone z=kraizx^2+y^2
– Paraboloide z=x^2a^2+y^2b^2
Para cada caso vamos dar
  1. parametrização cartesiana: r(u,v),
  2. parametrização cilíndrica: r(r,theta),
  3. parametrização esférica: escrevendo (x,y,z) em função de rho,phi,theta e impondo a equação da superfície.

Passo 2

Plano z=0
– Cartesiana
r(u,v) = (u,,v,,0), (u,v)in R^2
– Cilíndrica
r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;0r), r>=0,;thetain[0,2pi)
– Esférica
No plano z=0 temos phi=pi2. Logo
r(rho,theta) = l(rhosinphicostheta,;rhosinphisintheta,;rhocosphir) = (rhocostheta,;rhosintheta,;0), rho>=0,;thetain[0,2pi)

Passo 3

Disco de raio R em z=0
– Cartesiana
r(u,v)=(u,,v,,0), u^2+v^2<= R^2
– Cilíndrica
r(r,theta)=(rcostheta,;rsintheta,;0), 0<= r<= R,;thetain[0,2pi)
– Esférica
Ainda phi=pi2 e rho<= R:
r(rho,theta)=(rhocostheta,;rhosintheta,;0), 0<=rho<= R,;thetain[0,2pi)

Passo 4

Cilindro x^2+y^2=a^2 (eixo z)
– Cartesiana
Usamos um parâmetro angular u e a altura v:
r(u,v)=(acos u,;asin u,;v), uin[0,2pi),;vin R
– Cilíndrica
No cilindro r=a é constante:
r(theta,z)=(acostheta,;asintheta,;z), thetain[0,2pi),;zin R
– Esférica
Na superfície vale x^2+y^2 = a^2implies rho^2sin^2phi = a^2implies rho = asinphi. Então
r(phi,theta) =l(tfracasinphisinphicostheta,;tfracasinphisinphisintheta,;tfracasinphicosphir) =(acostheta,;asintheta,;acotphi),
phiin(0,pi),;thetain[0,2pi).

Passo 5

Esfera de raio R: x^2+y^2+z^2=R^2
– Cartesiana
Vemos como gráficas superior e inferior:
r(u,v) = l(u,,v,,pmraizR^2 - u^2 - v^2r), u^2+v^2<= R^2
– Cilíndrica
Usamos (theta,z), com r=raizR^2 - z^2:
r(theta,z) =l(raizR^2 - z^2costheta,;raizR^2 - z^2sintheta,;zr), thetain[0,2pi),;zin[-R,R]
– Esférica
Parametrização padrão:
r(phi,theta) =(Rsinphicostheta,;Rsinphisintheta,;Rcosphi), phiin[0,pi],;thetain[0,2pi)

Passo 6

Elipsoide (x-x0)^2a^2+(y-y0)^2b^2+(z-z0)^2c^2=1
– Cartesiana
Usamos ângulo polar u e azimute v:
r(u,v)=l(x0 + asin ucos v,;y0 + bsin usin v,;z0 + ccos ur), uin[0,pi],;vin[0,2pi)
– Cilíndrica
Tomamos (theta,z) e resolvemos a secção elíptica em x,y:
raiz(x-x0)^2a^2+(y-y0)^2b^2 =raiz1-(z-z0)^2c^2
Logo
r(theta,z) =l(x0 + acostheta,raiz1-tfrac(z-z0)^2c^2,; y0 + bsintheta,raiz1-tfrac(z-z0)^2c^2,;zr),
thetain[0,2pi),;zin[z0-c,z0+c]
– Esférica
Tomamos (phi,theta) tal que
sinphi controla x,y e cosphi controla z:
r(phi,theta) =l(x0 + asinphicostheta,;y0 + bsinphisintheta,;z0 + ccosphir), phiin[0,pi],;thetain[0,2pi)

Passo 7

Cone z = kraizx^2+y^2
– Cartesiana
r(u,v)=(u,;v,;kraizu^2+v^2), (u,v)in R^2
– Cilíndrica
Aqui r=raizx^2+y^2, então
r(r,theta)=(rcostheta,;rsintheta,;k,r), r>=0,;thetain[0,2pi)
– Esférica
No cone temos tanphi = rz = tfrac1kimplies phi=arctan!tfrac1k constante. Logo
r(rho,theta) =(rhosinphicostheta,;rhosinphisintheta,;rhocosphi), rho>=0,;thetain[0,2pi),
com phi=arctan!tfrac1k.

Passo 8

Paraboloide z=x^2a^2+y^2b^2
– Cartesiana
r(u,v)=l(u,;v,;tfracu^2a^2+tfracv^2b^2r), (u,v)in R^2
– Cilíndrica
x=rcostheta,;y=rsintheta
r(r,theta) =l(rcostheta,;rsintheta,;tfracr^2cos^2thetaa^2+tfracr^2sin^2thetab^2r), r>=0,;thetain[0,2pi)
– Esférica
Impondo z=rhocosphi e x^2+y^2=rho^2sin^2phi na equação do paraboloide:
rhocosphi = rho^2sin^2phia^2 (ou usando a=b para simplificar se desejado). No caso a=b, temos
rho = a^2cosphisin^2phi,
então
r(phi,theta) =l(tfraca^2cosphisin^2phisinphicostheta,; tfraca^2cosphisin^2phisinphisintheta,; tfraca^2cosphisin^2phicosphir) =(acotphicostheta,;acotphisintheta,;acot^2phi),
phiin(0,tfracpi2),;thetain[0,2pi).

Resposta

Apresentamos, para cada superfície, as três parametrizações pedidas:
Plano z=0
  1. r(u,v)=(u,v,0).
  2. r(r,theta)=(rcostheta,rsintheta,0).
  3. r(rho,theta)=(rhocostheta,rhosintheta,0), phi=pi/2.
Disco x^2+y^2<= R^2 em z=0
  1. r(u,v)=(u,v,0), u^2+v^2<= R^2.
  2. r(r,theta)=(rcostheta,rsintheta,0), rin[0,R].
  3. mesma que 2 com rho=r, phi=pi/2.
Cilindro x^2+y^2=a^2
  1. r(u,v)=(acos u,asin u,v).
  2. r(theta,z)=(acostheta,asintheta,z).
  3. r(phi,theta)=(acostheta,asintheta,acotphi).
Esfera x^2+y^2+z^2=R^2
  1. r(u,v)=(u,v,pmraizR^2-u^2-v^2).
  2. r(theta,z)=(raizR^2-z^2costheta,raizR^2-z^2sintheta,z).
  3. r(phi,theta)=(Rsinphicostheta,Rsinphisintheta,Rcosphi).
Elipsoide fora do centro
  1. r(u,v)=(x0+asin ucos v,;y0+bsin usin v,;z0+ccos u).
  2. r(theta,z)=(x0+acosthetaraiz1-tfrac(z-z0)^2c^2,,y0+bsinthetaraiz1-tfrac(z-z0)^2c^2,,z).
  3. r(phi,theta)=(x0+asinphicostheta,;y0+bsinphisintheta,;z0+ccosphi).
Cone z=kraizx^2+y^2
  1. r(u,v)=(u,v,kraizu^2+v^2).
  2. r(r,theta)=(rcostheta,rsintheta,kr).
  3. r(rho,theta)=(rhosinphicostheta,rhosinphisintheta,rhocosphi), phi=arctantfrac1k.
Paraboloide z=x^2a^2+y^2a^2 (caso a=b)
  1. r(u,v)=(u,v,tfracu^2+v^2a^2).
  2. r(r,theta)=(rcostheta,rsintheta,tfracr^2a^2).
  3. r(phi,theta)=(acotphicostheta,;acotphisintheta,;acot^2phi).

Exercícios relacionados