Faça a parametrização das seguintes superfícies, de 3 maneiras diferentes, utilizando-se de coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas: plano, disco, cilindro, esfera, elipsoide fora do centro, cone, e paraboloide.
Passo 1
O enunciado nos pede para exibir três parametrizações distintas – usando coordenadas cartesianas (parâmetros
), coordenadas cilíndricas
e coordenadas esféricas
– para cada uma das seguintes superfícies:
– Plano
– Disco de raio em
– Cilindro de raio (eixo
)
– Esfera de raio (centro na origem)
– Elipsoide fora do centro
– Cone
– Paraboloide
– Plano
– Disco de raio
– Cilindro de raio
– Esfera de raio
– Elipsoide fora do centro
– Cone
– Paraboloide
Para cada caso vamos dar
- parametrização cartesiana:
, - parametrização cilíndrica:
, - parametrização esférica: escrevendo
em função de e impondo a equação da superfície.
Passo 2
Plano
– Cartesiana
– Cilíndrica
– Esférica
No plano temos
. Logo
No plano
Passo 3
Disco de raio
em
– Cartesiana
– Cilíndrica
– Esférica
Ainda e
:
Ainda
Passo 4
Cilindro
(eixo
)
– Cartesiana
Usamos um parâmetro angular e a altura
:
Usamos um parâmetro angular
– Cilíndrica
No cilindro é constante:
No cilindro
– Esférica
Na superfície vale . Então
Na superfície vale
Passo 5
Esfera de raio
:
– Cartesiana
Vemos como gráficas superior e inferior:
Vemos como gráficas superior e inferior:
– Cilíndrica
Usamos , com
:
Usamos
– Esférica
Parametrização padrão:
Parametrização padrão:
Passo 6
Elipsoide
– Cartesiana
Usamos ângulo polar e azimute
:
Usamos ângulo polar
– Cilíndrica
Tomamos e resolvemos a secção elíptica em
:
Tomamos
Logo
– Esférica
Tomamos tal que
controla
e
controla
:
Tomamos
Passo 7
Cone
– Cartesiana
– Cilíndrica
Aqui , então
Aqui
– Esférica
No cone temos constante. Logo
No cone temos
com
.
Passo 8
Paraboloide
– Cartesiana
– Cilíndrica
dá
– Esférica
Impondo e
na equação do paraboloide:
(ou usando
para simplificar se desejado). No caso
, temos
Impondo
então
Resposta
Apresentamos, para cada superfície, as três parametrizações pedidas:
Plano
-
. -
. -
, .
Disco
em
-
, . -
, . - mesma que 2 com
, .
Cilindro
-
. -
. -
.
Esfera
-
. -
. -
.
Elipsoide fora do centro
-
. -
. -
.
Cone
-
. -
. -
, .
Paraboloide
(caso
)
-
. -
. -
.