(Valor 20.0 pts) Uma massa pesando 16 libras alonga uma mola em 3,2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a velocidade instantânea haja sobre o sistema, determine a equação do movimento se a mola for puxada para cima e solta do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio. Se necessário use g=32 pés / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento viscoso. Temos uma massa que pesa 16 libras, uma mola que se alonga 3,2 pés sob esse peso e um amortecedor cuja força de resistência é igual à velocidade instantânea. Vamos precisar usar a relação de Hooke para achar a constante da mola, a relação m=g/W para a massa em slugs e depois montar e resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento.

Passo 2

Encontramos a massa m e a constante da mola k:
m=\frac{W}{g}=\frac{16}{32}=\tfrac12\quad(\text{slugs})
k=\frac{W}{\Delta x}=\frac{16}{3,2}=5\quad(\text{libras/pé})é

Passo 3

A equação de movimento de um sistema massa-mola-amortecedor é
m\,x''+c\,x'+k\,x=0.
Como a força amortecedora vale numericamente a velocidade c\,x'=x', temos c=1 (libra s\cdot s/pé). Substituindo m, c e k,
\tfrac12\,x''+1\,x'+5\,x=0 \quad\Longrightarrow\quad x''+2\,x'+10\,x=0.

Passo 4

A equação característica é
r^2+2r+10=0,
cuja solução é
r=-1\pm3\,\mathrm{i}.
Logo a solução geral é
x(t)=e^{-t}\bigl(A\cos(3t)+B\sin(3t)\bigr).

Passo 5

As condições iniciais são: deslocamento inicial x(0)=2 pés (puxada 2 ft acima do equilíbrio) e velocidade inicial x'(0)=0. Em t=0,
x(0)=A=2,
e
x'(t)=e^{-t}\bigl((-A+3B)\cos3t+(-B-3A)\sin3t\bigr),
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x'(0)=-A+3B=0 \quad\Longrightarrow\quad -2+3B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Substituindo A e B em x(t), obtemos a solução particular:
x(t)=e^{-t}\bigl(2\cos(3t)+\tfrac{2}{3}\sin(3t)\bigr).

Resposta

x(t)=e^{-t}\bigl(2\cos(3t)+\tfrac{2}{3}\sin(3t)\bigr)

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