(Valor 20.0 pts) Uma massa pesando 16 libras alonga uma mola em 3,2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a velocidade instantânea haja sobre o sistema, determine a equação do movimento se a mola for puxada para cima e solta do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio. Se necessário use
pés
.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento viscoso. Temos uma massa que pesa
libras, uma mola que se alonga
pés sob esse peso e um amortecedor cuja força de resistência é igual à velocidade instantânea. Vamos precisar usar a relação de Hooke para achar a constante da mola, a relação
para a massa em slugs e depois montar e resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento.
Passo 2
Encontramos a massa
e a constante da mola
:
Passo 3
A equação de movimento de um sistema massa-mola-amortecedor é
Como a força amortecedora vale numericamente a velocidade
, temos
(libra
/pé). Substituindo
,
e
,
Passo 4
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral é
Passo 5
As condições iniciais são: deslocamento inicial
pés (puxada 2 ft acima do equilíbrio) e velocidade inicial
. Em
,
e
logo
Passo 6
Substituindo
e
em
, obtemos a solução particular: