Use a identidade trigonométrica sen^2 omega+cos ^2 omega=1 e o item anterior para obter
integral0^infty sen^4 omegaomega^2 d omega=pi4
(Sugestão: sen^2 omega=sen^4 omega+sen^2 omega cos ^2 omega=sen^4 omega+14 sen^2 2 omega.)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
I=integral0^inftysin^4omegaomega^2,domega
usando a identidade trigonométrica e o resultado já obtido
integral0^inftysin^2omegaomega^2,domega=pi2
Vamos precisar manipular sin^4omega para relacioná-lo a sin^2omega e usar mudança de variável em seguida.

Passo 2

Começando pela identidade fundamental sin^2omega+cos^2omega=1, escrevemos
sin^2omega=sin^4omega+sin^2omegacos^2omega
Como sin^2omegacos^2omega=(sinomegacosomega)^2=tfrac14sin^2(2omega), isolamos:
sin^4omega=sin^2omega-14sin^2(2omega)

Passo 3

Agora integramos ambos os lados dividido por omega^2:
integral0^inftysin^4omegaomega^2,domega =integral0^inftysin^2omegaomega^2,domega -14integral0^inftysin^2(2omega)omega^2,domega
A primeira integral vale pi/2 pelo item anterior.

Passo 4

Para avaliar
integral0^inftysin^2(2omega)omega^2,domega, fazemos a mudança de variável u=2omega, logo domega=du/2 e:
integral0^inftysin^2(2omega)omega^2,domega =integral0^inftysin^2u(u/2)^2cdotdu2 =2integral0^inftysin^2uu^2,du =2cdotpi2=pi
Substituindo de volta, temos
I=pi2-14,pi=pi4

Resposta

pi4

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