Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
integral0^infty cos x omega+w sen x omega1+omega^2 d omega=cl0 & se x<0, pi / 2 & se x=0 pi e^-x & se x>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^inftycos(xomega)+omegasin(xomega)1+omega^2,domegausando representação integral de Fourier. Vamos usar conhecimentos sobre integrais padrão e derivação sob o sinal de integral.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares e estabelecemos sua relação via derivação sob o integral:
I(x)=integral0^inftycos(xomega)1+omega^2,domega, J(x)=integral0^inftyomegasin(xomega)1+omega^2,domega
Derivando I(x) em relação a x por diferenciação sob o sinal de integral, obtemos
I'(x)=-integral0^inftyomegasin(xomega)1+omega^2,domega=-J(x)
Logo, J(x)=-I'(x).

Passo 3

Agora usamos o resultado padrão de integral de Fourier:
integral0^inftycos(a t)1+t^2,dt=pi2e^-|a|
Aplicando em I(x) com a=x, temos
I(x)=pi2e^-|x|

Passo 4

Como J(x)=-I'(x), diferenciamos I(x)=tfracpi2e^-|x| em cada caso:
Para x>0:
I(x)=pi2e^-x, I'(x)=-pi2e^-x, J(x)=pi2e^-x
Para x<0:
I(x)=pi2e^x, I'(x)=pi2e^x, J(x)=-pi2e^x

Passo 5

Somando I(x)+J(x) e analisando cada caso:
  • Para x>0: I+J=pi e^-x.
  • Para x<0: I+J=0.
  • Para x=0: basta notar que J(0)=0 e
I(0)=integral0^infty11+omega^2,domega=pi2
Portanto chega-se ao resultado pedido.

Resposta

[\int_{0}{\infty}\frac{\cos(x\omega)+\omega\sin(x\omega)}{1+\omega{2}},d\omega= 0,&x<0,pi2,&x=0,pi e^-x,&x>0]

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