Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. - O objetivo é encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
Para uma raiz dupla
as duas soluções fundamentais são
Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha do método para o termo não-homogêneo: o termo do lado direito é
. O método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) funciona quando a parte multiplicativa é polinomial com potências inteiras, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples — aqui temos
(potência fracionária), portanto esse método não é adequado. Usamos então o método de variação de parâmetros, que é geral para equações lineares de segunda ordem.
Ideia do método de variação de parâmetros:
- Procuramos uma solução particular da forma
onde
são as soluções fundamentais da homogênea e
são funções a determinar.
- Impomos a condição auxiliar
para simplificar as derivadas e obter um sistema linear para
e
.
Passo 4
Aplicando o método com
As duas equações do sistema para
e
são (a condição auxiliar e a equação que iguala a segunda derivada ao termo não-homogêneo):
Substituindo
(nunca zero):
Subtraindo a primeira equação da segunda cancela (u_{1}’] e dá:
Então, pela primeira equação,
]
Então, pela primeira equação,
Passo 5
Integramos
e
para obter
e
. Usamos a regra básica de integração de potências:
para
.
Calcule
:
Calcule
:
Observação: nas integrais aparece uma constante de integração; ao construir uma solução particular geralmente escolhemos as constantes de integração iguais a zero, porque qualquer constante adicional fica absorvida na solução homogênea
. Portanto usamos as primitivas acima sem constantes extras para obter um
particular.
Passo 6
Agora montamos a solução particular
Substituímos
e
:
Combine frações:
Portanto
e
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias. Esta é a solução geral procurada.