Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{3 / 2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x^{3/2} e^{x}.
Informações dadas que vamos usar:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo x^{3/2} e^{x}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para uma raiz dupla r=1 as duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha do método para o termo não-homogêneo: o termo do lado direito é x^{3/2}e^{x}. O método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) funciona quando a parte multiplicativa é polinomial com potências inteiras, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples — aqui temos x^{3/2} (potência fracionária), portanto esse método não é adequado. Usamos então o método de variação de parâmetros, que é geral para equações lineares de segunda ordem.
Ideia do método de variação de parâmetros:
  • Procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x) = u_{1}(x)\,y_{1}(x) + u_{2}(x)\,y_{2}(x),
onde y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais da homogênea e u_{1},u_{2} são funções a determinar.
  • Impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)\,y_{1}(x)+u_{2}'(x)\,y_{2}(x)=0
para simplificar as derivadas e obter um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'.

Passo 4

Aplicando o método com y_{1}=e^{x}\) e \(y_{2}=x e^{x}\). Calcule as derivadas: \[y_{1}'=e^{x},\qquad y_{2}'=(1+x)e^{x}.
As duas equações do sistema para u_{1}' e u_{2}' são (a condição auxiliar e a equação que iguala a segunda derivada ao termo não-homogêneo):
\begin{cases} u_{1}'\,y_{1}+u_{2}'\,y_{2}=0,\\[4pt] u_{1}'\,y_{1}'+u_{2}'\,y_{2}'=x^{3/2}e^{x}. \end{cases}
Substituindo y_{1},y_{2},y_{1}',y_{2}'\] obtemos \[\begin{cases} u_{1}'\,e^{x}+u_{2}'\,x e^{x}=0,\\[4pt] u_{1}'\,e^{x}+u_{2}'\,(1+x)e^{x}=x^{3/2}e^{x}. \end{cases}\] Dividindo cada equação por \[e^{x} (nunca zero):
\begin{cases} u_{1}'+x\,u_{2}'=0,\\[4pt] u_{1}'+(1+x)\,u_{2}'=x^{3/2}. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda cancela (u_{1}’] e dá:
(1+x-x)u_{2}'=x^{3/2}\quad\Rightarrow\quad u_{2}'=x^{3/2}.
Então, pela primeira equação,
u_{1}'=-x\,u_{2}'=-x\cdot x^{3/2}=-x^{5/2}.]

Passo 5

Integramos u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Usamos a regra básica de integração de potências: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
Calcule u_{2}:
u_{2}(x)=\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
Calcule u_{1}:
u_{1}(x)=\int -x^{5/2}\,dx=-\frac{x^{7/2}}{7/2}=-\frac{2}{7}x^{7/2}.
Observação: nas integrais aparece uma constante de integração; ao construir uma solução particular geralmente escolhemos as constantes de integração iguais a zero, porque qualquer constante adicional fica absorvida na solução homogênea y_{h}. Portanto usamos as primitivas acima sem constantes extras para obter um y_{p} particular.

Passo 6

Agora montamos a solução particular
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=u_{1}e^{x}+u_{2}\,x e^{x}=e^{x}\big(u_{1}+x u_{2}\big).
Substituímos u_{1} e u_{2}:
u_{1}+x u_{2} = -\frac{2}{7}x^{7/2} + x\cdot\frac{2}{5}x^{5/2} = -\frac{2}{7}x^{7/2} + \frac{2}{5}x^{7/2}.
Combine frações:
-\frac{2}{7} + \frac{2}{5} = 2\left(-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}\right) =2\left(\frac{-5+7}{35}\right)=2\cdot\frac{2}{35}=\frac{4}{35}.
Portanto
u_{1}+x u_{2} = \frac{4}{35}x^{7/2},
e
y_{p}(x)=\frac{4}{35}x^{7/2}e^{x}.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+\frac{4}{35}x^{7/2}e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Esta é a solução geral procurada.

Resposta

\displaystyle y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+\frac{4}{35}x^{7/2}e^{x}

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