Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
t y^{\prime}-2 y=-3 t

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
t\,y' - 2\,y = -3\,t,
onde t\neq0. Vamos usar o método do fator integrante para encontrarmos a solução geral.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo todos os termos por t:
y' - \frac{2}{t}\,y = -3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(-\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(-2\ln|t|\bigr) = t^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^{-2}:
t^{-2}y' - 2t^{-3}y = -3t^{-2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto t^{-2}y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-2}y\bigr) = -3t^{-2}.

Passo 5

Integramos em t:
t^{-2}y = \int -3t^{-2}\,dt = 3t^{-1} + C.
Multiplicando por t^2 obtemos
y = t^2\bigl(3t^{-1}+C\bigr) = 3t + C\,t^2.

Resposta

y(t) = C\,t^{2} + 3t.

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