Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime}-3 y=e^{2 t}, \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' - 3y = e^{2t},\quad y(0)=2.
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = e^{\int -3\,dt} = e^{-3t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{-3t}y' - 3e^{-3t}y = e^{-3t}e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr) = e^{-t}.
Integrando ambos os lados em relação a t,
e^{-3t}y = \int e^{-t}\,dt = -e^{-t} + C.

Passo 4

Isolando y,
y = \bigl(-e^{-t} + C\bigr)e^{3t} = -e^{-t}e^{3t} + C\,e^{3t} = -e^{2t} + C\,e^{3t}.

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=2,
y(0) = -e^{0} + C\,e^{0} = -1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

y(t) = 3e^{3t} - e^{2t}.

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