Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}+\left(\frac{2}{t}\right) y=3 \cos 2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' + \frac{2}{t}\,y = 3\cos2t
O que precisamos: reconhecer que é linear, usar fator integrante e depois calcular uma integral por partes para obter a solução geral.

Passo 2

O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp(\ln t^2) = t^2.
Multiplicando a equação original por t^2, obtemos
t^2 y' + 2t\,y = 3t^2\cos2t \quad\Longrightarrow\quad \bigl(t^2y\bigr)' = 3t^2\cos2t.
Integramos ambos os lados:
t^2y = 3\int t^2\cos2t\,dt + C.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int t^2\cos2t\,dt por partes. Defina
I = \int t^2\cos2t\,dt.
  1. Seja u=t^2, dv=\cos2t\,dt. Então du=2t\,dt, v=\tfrac{\sin2t}{2}, logo
I = \frac{t^2}{2}\sin2t - \int t\sin2t\,dt.
  1. Agora chame J=\int t\sin2t\,dt. Com u=t, dv=\sin2t\,dt temos du=dt, v=-\tfrac{\cos2t}{2}, daí
J = -\frac{t}{2}\cos2t + \frac{1}{2}\int \cos2t\,dt = -\frac{t}{2}\cos2t + \frac{\sin2t}{4}.
Substituindo em I:
I = \frac{t^2}{2}\sin2t - \Bigl(-\frac{t}{2}\cos2t + \frac{\sin2t}{4}\Bigr) = \frac{2t^2-1}{4}\sin2t + \frac{t}{2}\cos2t.

Passo 4

Voltemos a
t^2y = 3\,I + C = 3\Bigl(\frac{2t^2-1}{4}\sin2t + \frac{t}{2}\cos2t\Bigr) + C.
Dividindo por t^2, a solução geral é
y = \frac{3(2t^2-1)}{4t^2}\,\sin2t + \frac{3}{2t}\cos2t + \frac{C}{t^2}.

Resposta

y = \dfrac{3(2t^2-1)}{4t^2}\sin2t + \dfrac{3}{2t}\cos2t + \dfrac{C}{t^2}.

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