Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
d) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=3 e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem cujo enunciado é:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=3 e^{-x}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O termo não homogêneo (força externa) é 3 e^{-x}.
  • Pergunta: determinar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=0.
Método (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo gera-se a chamada equação característica em r. Isso funciona porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, permitindo reduzir a EDO a um polinômio em r.
Substituindo y=e^{r x} na homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}-3r+2=0.
Resolver esse polinômio quadrático; fatorando:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=2, distintas e reais. Assim a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (surgem por serem constantes de integração numa equação de segunda ordem).

Passo 3

Procurar uma solução particular y_{p}(x) para a equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Ideia (didática): quando o termo não homogêneo é uma exponencial do tipo e^{\alpha x}, tenta-se uma solução particular na forma A e^{\alpha x} (com A a constante a determinar), exceto se e^{\alpha x} for solução da homogênea — nesse caso multiplicar por x o suficiente para obter independência. Aqui o termo é 3 e^{-x}, ou seja \alpha=-1. Verificar se \alpha=-1 é raiz da característica: as raízes da característica foram 1 e 2, portanto -1 não é raiz; então podemos tentar
y_{p}(x)=A e^{-x},
com A constante a determinar.
Calcular as derivadas necessárias:
\frac{d y_{p}}{d x}=-A e^{-x},\qquad \frac{d^{2} y_{p}}{d x^{2}}=A e^{-x}.
Substituir na equação original (mostrando contas passo a passo):
\frac{d^{2} y_{p}}{d x^{2}}-3 \frac{d y_{p}}{d x}+2 y_{p} = A e^{-x} -3(-A e^{-x}) +2(A e^{-x}).
Fatorando e^{-x}:
= (A +3A +2A)\,e^{-x} = 6A\,e^{-x}.
Isso deve ser igual ao termo não homogêneo 3 e^{-x}. Igualando os coeficientes da mesma exponencial:
6A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=\tfrac{1}{2} e^{-x}.

Passo 4

Combinar as soluções: por linearidade da equação, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com qualquer solução particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2x}+\tfrac{1}{2} e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Checagem rápida: já calculamos que substituindo y_{p} no lado esquerdo produz exatamente 3 e^{-x}, então a particular está correta.)

Resposta

y(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2x}+\tfrac{1}{2} e^{-x}

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