Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem cujo enunciado é:
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, de segunda ordem.
- O termo não homogêneo (força externa) é
. - Pergunta: determinar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
Método (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo
. Substituindo gera-se a chamada equação característica em
. Isso funciona porque derivadas de
são múltiplos de
, permitindo reduzir a EDO a um polinômio em
.
Substituindo
na homogênea obtém-se a equação característica
Resolver esse polinômio quadrático; fatorando:
portanto as raízes são
e
, distintas e reais. Assim a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (surgem por serem constantes de integração numa equação de segunda ordem).
Passo 3
Procurar uma solução particular
para a equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Ideia (didática): quando o termo não homogêneo é uma exponencial do tipo
, tenta-se uma solução particular na forma
(com
a constante a determinar), exceto se
for solução da homogênea — nesse caso multiplicar por
o suficiente para obter independência. Aqui o termo é
, ou seja
. Verificar se
é raiz da característica: as raízes da característica foram
e
, portanto
não é raiz; então podemos tentar
com
constante a determinar.
Calcular as derivadas necessárias:
Substituir na equação original (mostrando contas passo a passo):
Fatorando
:
Isso deve ser igual ao termo não homogêneo
. Igualando os coeficientes da mesma exponencial:
Logo a solução particular é
Passo 4
Combinar as soluções: por linearidade da equação, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com qualquer solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias. (Checagem rápida: já calculamos que substituindo
no lado esquerdo produz exatamente
, então a particular está correta.)