Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que se quer:
- A incógnita é a função
. - A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. - Objetivo: encontrar a expressão geral de
, que será a soma de uma solução geral da equação associada homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. Primeiro escrevo a homogênea:
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo). Substituindo
na equação homogênea obtém-se a equação característica (polinomial em
):
Dividindo por
para simplificar:
Calculo o discriminante
:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
Quando as raízes da equação característica são
(com
), a solução geral real da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Aqui
e
. Logo
Passo 3
Procurar uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. O termo não-homogêneo é
, que é uma função exponencial. A regra prática: tentar uma solução particular da forma
, com
constante, desde que
não seja solução da homogênea (i.e.
não seja raiz da equação característica). Verifico que as raízes da característica são
, portanto
não é raiz — não há ressonância — então a tentativa
é adequada.
Calculo as derivadas de
:
Substituo na equação diferencial (lado esquerdo):
Fatorando
e somando coeficientes:
Essa expressão deve ser igual ao lado direito
. Igualando os coeficientes de
obtém-se
Portanto uma solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea com qualquer solução particular. Assim a solução geral procurada é
. Mantendo as constantes arbitrárias
obtém-se a família geral de soluções.