Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
f) 4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 3e^{2x}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo 3e^{2x}.
  • Objetivo: encontrar a expressão geral de y(x), que será a soma de uma solução geral da equação associada homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. Primeiro escrevo a homogênea:
4\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\frac{dy}{dx}+4y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo). Substituindo y=e^{rx} na equação homogênea obtém-se a equação característica (polinomial em r):
4r^{2}-4r+4=0.
Dividindo por 4 para simplificar:
r^{2}-r+1=0.
Calculo o discriminante \Delta:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
r=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Quando as raízes da equação característica são r=\alpha\pm i\beta (com \beta>0), a solução geral real da homogênea é
y_h(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Aqui \alpha=\dfrac{1}{2} e \beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
y_h(x)=e^{\tfrac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big).

Passo 3

Procurar uma solução particular y_p(x) da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. O termo não-homogêneo é 3e^{2x}, que é uma função exponencial. A regra prática: tentar uma solução particular da forma y_p=Ae^{2x}, com A constante, desde que e^{2x} não seja solução da homogênea (i.e. r=2 não seja raiz da equação característica). Verifico que as raízes da característica são \dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}, portanto r=2 não é raiz — não há ressonância — então a tentativa y_p=Ae^{2x} é adequada.
Calculo as derivadas de y_p:
y_p = A e^{2x},\qquad \frac{dy_p}{dx}=2A e^{2x},\qquad \frac{d^{2}y_p}{dx^{2}}=4A e^{2x}.
Substituo na equação diferencial (lado esquerdo):
4\frac{d^{2}y_p}{dx^{2}}-4\frac{dy_p}{dx}+4y_p =4(4A e^{2x})-4(2A e^{2x})+4(A e^{2x}).
Fatorando e^{2x} e somando coeficientes:
= e^{2x}\big(16A-8A+4A\big)=e^{2x}(12A).
Essa expressão deve ser igual ao lado direito 3e^{2x}. Igualando os coeficientes de e^{2x} obtém-se
12A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.
Portanto uma solução particular é
y_p(x)=\frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea com qualquer solução particular. Assim a solução geral procurada é y(x)=y_h(x)+y_p(x). Mantendo as constantes arbitrárias C_1,C_2 obtém-se a família geral de soluções.

Resposta

y(x)=e^{\tfrac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big)+\frac{1}{4}e^{2x}

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