Determine
abla f, o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=y \operatorname{sen}(x y)
abla f, o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=y \operatorname{sen}(x y)
Passo 1
O enunciado pede: determinar
, o campo gradiente da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes: a função depende de
e
; o símbolo
indica a função seno (no LaTeX usarei
). A única pergunta é calcular o gradiente de
.
Passo 2
O que é o gradiente e como ele é escrito (conceito importante, para decorar e usar na prova).
O gradiente de uma função é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e a
:
O gradiente de uma função
Significado prático: a primeira componente diz quanto
muda se eu variar só
(com
fixo) e a segunda diz quanto
muda se eu variar só
(com
fixo). Para calcular essas derivadas usamos regras padrão: derivada do produto (product rule) e regra da cadeia (chain rule).
Passo 3
Cálculo de
.
Tratando como constante, temos
. Usamos a regra da cadeia para
(derivada de
é
):
Tratando
Multiplicando pelo fator externo
(que é constante em relação a
):
Passo 4
Cálculo de
.
Agora é tratado como constante. Como
, aplicamos a regra do produto: se
e
, então
.
Agora
-
. - Para
, aplicamos regra da cadeia: .
Portanto
Passo 5
Montando o gradiente com as duas componentes calculadas:
Isso já é o campo vetorial gradiente procurado. Pequeno truque de prova: pode-se fatorar
na segunda componente se desejar escrever de outra forma, mas a forma acima é direta e clara.
Passo 6
Verificações rápidas e dica para a prova:
- Teste simples: se
então . Serve para checar erros óbvios. - Em provas, identifique rapidamente se precisa de product rule ou chain rule: aqui tem produto entre
e , e depende de , então vem product+chain. - Mentalmente:
costuma multiplicar por outro vindo da derivada de ; traz um termo da derivada de (que é ) mais o termo da cadeia.