Determine
abla f, o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=y \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede: determinar \nabla f, o campo gradiente da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=y\,\operatorname{sen}(x y).
Informações relevantes: a função depende de x e y; o símbolo \operatorname{sen} indica a função seno (no LaTeX usarei \sin). A única pergunta é calcular o gradiente de f.

Passo 2

O que é o gradiente e como ele é escrito (conceito importante, para decorar e usar na prova).
O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y:
\displaystyle \nabla f(x,y)=\Big(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Big).
Significado prático: a primeira componente diz quanto f muda se eu variar só x (com y fixo) e a segunda diz quanto f muda se eu variar só y (com x fixo). Para calcular essas derivadas usamos regras padrão: derivada do produto (product rule) e regra da cadeia (chain rule).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Tratando y como constante, temos f(x,y)=y\cdot\sin(xy). Usamos a regra da cadeia para \sin(xy) (derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'):
\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin(xy)\big)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
Multiplicando pelo fator externo y (que é constante em relação a x):
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot\big(\cos(xy)\cdot y\big)=y^{2}\cos(xy).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora x é tratado como constante. Como f(x,y)=y\cdot\sin(xy), aplicamos a regra do produto: se g(y)=y e h(y)=\sin(xy), então (gh)'=g'h+gh'.
  • g'(y)=1.
  • Para h'(y), aplicamos regra da cadeia: \dfrac{d}{dy}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\dfrac{d}{dy}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=1\cdot\sin(xy)+y\cdot\big(\cos(xy)\cdot x\big)=\sin(xy)+x y\cos(xy).

Passo 5

Montando o gradiente com as duas componentes calculadas:
\nabla f(x,y)=\Big(y^{2}\cos(xy),\;\sin(xy)+x y\cos(xy)\Big).
Isso já é o campo vetorial gradiente procurado. Pequeno truque de prova: pode-se fatorar \cos(xy) na segunda componente se desejar escrever de outra forma, mas a forma acima é direta e clara.

Passo 6

Verificações rápidas e dica para a prova:
  • Teste simples: se x=0 então \nabla f(0,y)=(y^{2}\cos 0,\sin 0+0)=(y^{2},0). Serve para checar erros óbvios.
  • Em provas, identifique rapidamente se precisa de product rule ou chain rule: aqui tem produto entre y e \sin(xy), e \sin depende de xy, então vem product+chain.
  • Mentalmente: \partial_x costuma multiplicar por outro y vindo da derivada de xy; \partial_y traz um termo da derivada de y (que é 1) mais o termo da cadeia.

Resposta

\nabla f(x,y)=\big(y^{2}\cos(xy),\;\sin(xy)+x y\cos(xy)\big)

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