calcule o limite.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x}}{h}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão depende de duas variáveis: x (parâmetro) e h (variável que tende a zero).
  • A expressão contém \dfrac{1}{x}, portanto para qualquer análise devemos exigir x\neq 0 (caso contrário a expressão não está definida para nenhum h).
  • O que se pede é o comportamento quando h\to 0; isso pode depender do valor de x. Vou tratar os casos relevantes e calcular o limite (ou mostrar que não existe).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a diferença de frações no numerador sobre um denominador comum para simplificar. Começo escrevendo o numerador como uma única fração:
\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x} =\frac{x-(x+h)^2}{x(x+h)^2}.

Passo 3

Agora substituo essa expressão na fração original dividida por h:
\frac{\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x}}{h} = \frac{x-(x+h)^2}{x(x+h)^2\,h}.
Vou expandir (x+h)^2 para ver melhor os termos:
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.
Substituindo na diferença x-(x+h)^2:
x-(x+h)^2 = x - \bigl(x^2+2xh+h^2\bigr) = -x^2 + x - 2xh - h^2.

Passo 4

Reescrevo o numerador agrupando o termo que não envolve h:
x-(x+h)^2 = -x(x-1) - 2x h - h^2.
Assim a expressão original fica
\frac{x-(x+h)^2}{x(x+h)^2\,h} = \frac{-x(x-1) - 2x h - h^2}{x(x+h)^2\,h}.

Passo 5

Análise do comportamento quando h\to 0. Observe o termo constante (em h) no numerador:
-x(x-1).
  • Se x\neq 0 e x\neq 1, esse termo constante é diferente de zero, logo quando h\to 0 o numerador tende para uma constante não nula enquanto o denominador tem um fator h. Assim o quociente comporta-se como uma constante dividida por h quando h\to 0, o que diverge. Mais precisamente, para x\neq 0,1 a expressão tende para infinito em módulo e os sinais das duas aproximações laterais (de h\to 0^+ e h\to 0^-) são opostos, portanto o limite bilateral não existe (diverge).
  • Para ver isso com uma aproximação simples, note que quando h é muito pequeno
\frac{-x(x-1) - 2x h - h^2}{x(x+h)^2\,h} \sim \frac{-x(x-1)}{x\cdot x^2 \, h} = \frac{-(x-1)}{x^2}\cdot\frac{1}{h},
o que diverge quando h\to 0 se \dfrac{-(x-1)}{x^2}\neq 0.

Passo 6

Caso especial x=1. Substituo x=1 na expressão simplificada:
\frac{x-(x+h)^2}{x(x+h)^2\,h}\bigg|_{x=1} = \frac{1-(1+h)^2}{1\cdot(1+h)^2\,h} = \frac{1-(1+2h+h^2)}{(1+h)^2 h} = \frac{-2h - h^2}{(1+h)^2 h}.
Agora fatoro h no numerador e cancelo com o h do denominador:
\frac{-2h - h^2}{(1+h)^2 h} = \frac{h(-2 - h)}{(1+h)^2 h} = \frac{-2 - h}{(1+h)^2}.
Tomando o limite h\to 0 dessa expressão dá
\lim_{h\to 0}\frac{-2 - h}{(1+h)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2.
Logo para x=1 o limite existe e vale -2.

Passo 7

Caso x=0. A expressão original contém \dfrac{1}{x}, então para x=0 a expressão sequer está definida (não faz sentido falar do limite em h\to 0 porque a função não existe para nenhum h quando x=0). Portanto x=0 é excluído do domínio.

Resposta

Para x=1: -2
Para x=0: a expressão não está definida (impossível calcular o limite)
Para x\neq 0,1: o limite não existe (diverge; a expressão tende a infinito em módulo, com sinais opostos nas aproximações laterais)

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