Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
h) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=2 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Informações fornecidas:
  • Equação: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=2\sin x.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), isto é, a família de todas as soluções (contendo duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (solução complementar). A equação homogênea é
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substitui-se y=e^{r x} e obtém-se o polinômio característico:
r^{2}-3r+2=0.
Resolvendo esse polinômio (fatorial ou fórmula quadrática):
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=2, distintas e reais. Isso implica que a solução complementar é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_c(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação não homogênea. O termo não homogêneo é 2\sin x. Pelo método dos coeficientes a determinar, quando o lado direito é combinação de senos e cossenos, tentamos uma solução particular da forma
y_p(x)=A\cos x+B\sin x,
onde A e B são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos rápida “ressonância”: isso ocorreria se e^{ix} (ou r=\pm i) fosse raiz do polinômio característico; aqui as raízes são 1 e 2, então não há ressonância e a forma escolhida é adequada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x)=-A\sin x + B\cos x,
y_p''(x)=-A\cos x - B\sin x.

Passo 5

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' no lado esquerdo da equação diferencial:
y_p''-3y_p'+2y_p = (-A\cos x - B\sin x) -3(-A\sin x + B\cos x) + 2(A\cos x + B\sin x).
Agora agrupamos termos em \cos x e \sin x. Coeficiente de \cos x:
(-A) + (-3B) + 2A = A - 3B.
Coeficiente de \sin x:
(-B) + 3A + 2B = 3A + B.
Portanto
y_p''-3y_p'+2y_p = (A-3B)\cos x + (3A+B)\sin x.
Isso deve ser igual a 2\sin x = 0\cdot\cos x + 2\sin x.

Passo 6

Igualando coeficientes de \cos x\) e \(\sin x\) obtemos o sistema linear: \[\begin{cases} A-3B=0,\\[4pt] 3A+B=2. \end{cases}
Da primeira equação vem A=3B\]. Substituindo na segunda: \[3(3B)+B=2 \quad\Rightarrow\quad 9B+B=10B=2 \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}.\] Então \(A=3B=3\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}.]

Passo 7

Portanto a solução particular é
y_p(x)=\dfrac{3}{5}\cos x+\dfrac{1}{5}\sin x.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\dfrac{3}{5}\cos x+\dfrac{1}{5}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\dfrac{3}{5}\cos x+\dfrac{1}{5}\sin x

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