Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Informações fornecidas:
- Equação:
- O objetivo é encontrar a solução geral
, isto é, a família de todas as soluções (contendo duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (solução complementar). A equação homogênea é
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substitui-se
e obtém-se o polinômio característico:
Resolvendo esse polinômio (fatorial ou fórmula quadrática):
logo as raízes são
e
, distintas e reais. Isso implica que a solução complementar é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação não homogênea. O termo não homogêneo é
. Pelo método dos coeficientes a determinar, quando o lado direito é combinação de senos e cossenos, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos rápida “ressonância”: isso ocorreria se
(ou
) fosse raiz do polinômio característico; aqui as raízes são
e
, então não há ressonância e a forma escolhida é adequada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
no lado esquerdo da equação diferencial:
Agora agrupamos termos em
e
. Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Isso deve ser igual a
.
Passo 6
Igualando coeficientes de
Da primeira equação vem
.]
Passo 7
Portanto a solução particular é
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.