Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
g) 4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y=2 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
4\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2\frac{dy}{dx}+y=2e^{x}.
Informações dadas:
  • É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçante) é 2e^{x}.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. A equação homogênea é
4\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2\frac{dy}{dx}+y=0.
Método: procurar soluções da forma \;y=e^{rx}\; (essa é uma técnica padrão para equações com coeficientes constantes). Aqui r é um número (podendo ser complexo) a determinar. Se y=e^{rx}, então
\frac{dy}{dx}=r e^{rx},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na homogênea e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
4r^{2}-2r+1=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 4\cdot 1 = 4-16 = -12.
Como \Delta<0, temos raízes complexas conjugadas. Aplicando a fórmula,
r=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{8}=\frac{2\pm i2\sqrt{3}}{8}=\frac{1}{4}\pm i\frac{\sqrt{3}}{4}.
Portanto as raízes são r=\alpha\pm i\beta com \alpha=\dfrac{1}{4} e \beta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 3

Construir a solução geral da homogênea a partir das raízes complexas. Regra: se r=\alpha\pm i\beta são raízes da característica, então a solução real geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{\alpha x}\Big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam as condições iniciais). No nosso caso substituímos \alpha e \beta:
y_{h}(x)=e^{\frac{1}{4}x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\Big).
Explicando: a parte e^{\alpha x} representa o decaimento/crescimento exponencial (aqui \alpha=\tfrac{1}{4} dá crescimento lento), e as funções trigonométricas representam a oscilação com frequência \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_{p}(x) da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é 2e^{x}. Para esse tipo de forçante, tenta-se uma solução particular da forma
y_{p}(x)=A e^{x},
onde A é constante a determinar. Antes de substituir, verificar se e^{x} provoca ressonância: isto é, se r=1 é raiz da equação característica. Avaliando a característica em r=1:
4(1)^{2}-2(1)+1=4-2+1=3\neq 0,
portanto não há ressonância e a escolha y_{p}=A e^{x} é adequada.

Passo 5

Calcular A substituindo y_{p} na equação. Derivadas:
\frac{dy_{p}}{dx}=A e^{x},\qquad \frac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}}=A e^{x}.
Substituindo na equação original:
4(A e^{x})-2(A e^{x})+(A e^{x})=2e^{x}.
Fatorando e^{x}:
(4A-2A+A)e^{x}=3A e^{x}=2e^{x}.
Como e^{x}\neq 0 para todo x, igualamos os coeficientes:
3A=2 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{3}.
Logo uma solução particular é
y_{p}(x)=\frac{2}{3}e^{x}.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo y_{h} e y_{p} obtém-se a solução final:
y(x)=e^{\frac{1}{4}x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\Big)+\frac{2}{3}e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x)=e^{\frac{1}{4}x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\Big)+\frac{2}{3}e^{x}

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