Determinar a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Informações dadas:
- É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (forçante) é
.
O objetivo é encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. A equação homogênea é
Método: procurar soluções da forma
(essa é uma técnica padrão para equações com coeficientes constantes). Aqui
é um número (podendo ser complexo) a determinar. Se
, então
Substituindo na homogênea e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Como
, temos raízes complexas conjugadas. Aplicando a fórmula,
Portanto as raízes são
com
e
.
Passo 3
Construir a solução geral da homogênea a partir das raízes complexas. Regra: se
são raízes da característica, então a solução real geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam as condições iniciais). No nosso caso substituímos
e
:
Explicando: a parte
representa o decaimento/crescimento exponencial (aqui
dá crescimento lento), e as funções trigonométricas representam a oscilação com frequência
.
Passo 4
Procurar uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é
. Para esse tipo de forçante, tenta-se uma solução particular da forma
onde
é constante a determinar. Antes de substituir, verificar se
provoca ressonância: isto é, se
é raiz da equação característica. Avaliando a característica em
:
portanto não há ressonância e a escolha
é adequada.
Passo 5
Calcular
substituindo
na equação. Derivadas:
Substituindo na equação original:
Fatorando
:
Como
para todo
, igualamos os coeficientes:
Logo uma solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo
e
obtém-se a solução final:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).