Determinar a solução geral das seguintes equações.
y^{\prime}+2 y \operatorname{tgh} x=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y'+2y\,\operatorname{tgh} x=0.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (aparece apenas y e y').
  • A função \operatorname{tgh} x é a tangente hiperbólica de x (às vezes escrita \operatorname{tanh} x) e está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Não foi dada condição inicial; queremos, portanto, a família geral de soluções contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Decidir um método: aqui a equação pode ser tratada como uma equação linear homogênea de primeira ordem ou como uma equação separável. O método mais direto e elementar é separar variáveis, porque podemos reescrever a equação de modo a ter todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Vou seguir esse caminho por ser mais simples e rápido numa prova.

Passo 3

Reescrever a equação para separar as variáveis. Partimos de
y'+2y\,\operatorname{tgh} x=0.
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx} = -2y\,\operatorname{tgh} x.
Agora dividimos por y (note que isso exige y\neq0; a solução identicamente zero será tratada à parte) e multiplicamos por dx:
\frac{1}{y}\,dy = -2\,\operatorname{tgh} x\,dx.
Esta é a forma separável: lados com y à esquerda e com x à direita.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integramos \dfrac{1}{y}\,dy e -2\,\operatorname{tgh} x\,dx:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -2\,\operatorname{tgh} x\,dx.
A integral do lado esquerdo é \ln|y|. Para a integral do lado direito, lembramos que \operatorname{tgh} x=\dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}. Uma forma direta de integrar é usar a substituição u=\operatorname{cosh} x, pois du=\operatorname{sinh} x\,dx. Assim
\int \operatorname{tgh} x\,dx = \int \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(\operatorname{cosh} x)+C,
já que \operatorname{cosh} x>0 para todo x. Portanto
\int -2\,\operatorname{tgh} x\,dx = -2\ln(\operatorname{cosh} x)+C.
Juntando ambos os lados obtemos
\ln|y| = -2\ln(\operatorname{cosh} x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C}\,(\operatorname{cosh} x)^{-2}.
Escrevendo C_1=e^{C}>0 e permitindo o sinal negativo por uma constante arbitrária C\in\mathbb{R}, podemos escrever a solução geral como
y = C\,(\operatorname{cosh} x)^{-2},
onde C é uma constante real arbitrária. Observação: a solução identicamente nula y\equiv0 é obtida com C=0, então está incluída.

Passo 6

Opcional — conferir a solução por diferenciação (verificação rápida). Seja y=C\operatorname{cosh}^{-2}x. Então
y' = C\cdot(-2)\operatorname{cosh}^{-3}x\cdot\operatorname{sinh} x = -2C\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{3}x}.
Também
2y\,\operatorname{tgh} x = 2\left(C\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}x}\right)\left(\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\right) = 2C\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{3}x}.
Somando,
y'+2y\,\operatorname{tgh} x = -2C\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{3}x}+2C\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{3}x}=0,
o que confirma que a família encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y = C\,\operatorname{cosh}^{-2}x,\; C\in\mathbb{R}

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