Determinar a solução geral das seguintes equações.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (aparece apenas
e ). - A função
é a tangente hiperbólica de (às vezes escrita ) e está definida para todo . - Não foi dada condição inicial; queremos, portanto, a família geral de soluções contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Decidir um método: aqui a equação pode ser tratada como uma equação linear homogênea de primeira ordem ou como uma equação separável. O método mais direto e elementar é separar variáveis, porque podemos reescrever a equação de modo a ter todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro. Vou seguir esse caminho por ser mais simples e rápido numa prova.
Passo 3
Reescrever a equação para separar as variáveis. Partimos de
Escrevendo
obtemos
Agora dividimos por
(note que isso exige
; a solução identicamente zero será tratada à parte) e multiplicamos por
:
Esta é a forma separável: lados com
à esquerda e com
à direita.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integramos
e
:
A integral do lado esquerdo é
. Para a integral do lado direito, lembramos que
. Uma forma direta de integrar é usar a substituição
, pois
. Assim
já que
para todo
. Portanto
Juntando ambos os lados obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Escrevendo
e permitindo o sinal negativo por uma constante arbitrária
, podemos escrever a solução geral como
onde
é uma constante real arbitrária. Observação: a solução identicamente nula
é obtida com
, então está incluída.
Passo 6
Opcional — conferir a solução por diferenciação (verificação rápida). Seja
. Então
Também
Somando,
o que confirma que a família encontrada satisfaz a equação.