Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y \cos (x y) d x+x \cos (x y) d y=0 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y\cos(xy)\,dx + x\cos(xy)\,dy = 0, \qquad y(0)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=y\cos(xy) e N(x,y)=x\cos(xy).
  • A condição inicial é o ponto (x,y)=(0,0).

Passo 2

Estratégia de resolução (explicação didática do método que vamos usar):
Quando uma equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, uma técnica padrão é verificar se ela é exata. Uma equação é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa condição vale, podemos encontrar \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e ajustando com uma função de y, ou integrando N em relação a y e ajustando com função de x. Depois usamos a condição inicial para determinar a constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão, mostrando cada passo:
M(x,y)=y\cos(xy).
Derivando M em relação a y (produto e cadeia):
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(xy) + y\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot x = \cos(xy) - x y\sin(xy).
Agora
N(x,y)=x\cos(xy).
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \cos(xy) + x\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot y = \cos(xy) - x y\sin(xy).
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
ou seja, a equação é exata.

Passo 4

Construir a função potencial \Phi(x,y) integrando M em relação a x:
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=y\cos(xy).
Ao integrar em x, y é tratado como constante. Faço a substituição u=xy (então du=y\,dx) para calcular a integral:
\Phi(x,y)=\int y\cos(xy)\,dx = \int \cos(u)\,du = \sin(u)+C(y).
Voltando a x,y:
\Phi(x,y)=\sin(xy)+C(y),
onde C(y) é uma função a determinar (porque a integração em x permite uma constante que pode depender de y).

Passo 5

Determinar C(y) impondo \partial\Phi/\partial y=N(x,y). Calculo:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(\sin(xy)\big) + C'(y) = x\cos(xy) + C'(y).
Mas deve ser igual a N(x,y)=x\cos(xy). Logo
x\cos(xy)+C'(y)=x\cos(xy) \quad\Rightarrow\quad C'(y)=0.
Assim C(y) é constante: C(y)=C\in\mathbb{R}. A solução implícita geral da equação exata é, portanto,
\sin(xy)=C.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para determinar C. Substituo x=0 e y(0)=0 na solução implícita:
\sin\big(0\cdot 0\big)=\sin(0)=0 = C.
Logo C=0. Então a condição inicial seleciona a solução implícita
\sin(xy)=0.

Passo 7

Interpretar a solução \sin(xy)=0 e obter a solução explícita que respeita a condição inicial:
A equação \sin(xy)=0 implica
xy = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto fornece a família de curvas y(x)=\dfrac{k\pi}{x} para x\neq 0, e a solução y(x)=0 quando k=0.
Agora verificar quais dessas curvas passam pelo ponto (0,0) de maneira contínua: para k\neq 0 a expressão y=k\pi/x não tem limite finito quando x\to 0, portanto não pode ser definida de forma contínua com y(0)=0. Apenas a escolha k=0 xy=0 para todos os x, que corresponde à função
y(x)=0\quad\text{para todo }x,
a qual é contínua e satisfaz y(0)=0. Assim a única solução do problema de valor inicial contínua em torno de x=0 é y\equiv 0.
Observação didática rápida: a equação poderia também ser manipulada como \cos(xy)\big(y + x y'\big)=0, o que dá duas possibilidades locais: \cos(xy)=0 (levando a casos com \sin(xy)=\pm 1) ou y'=-y/x (resolvendo dá xy= const). A abordagem por equação exata com \sin(xy)=C unifica essas possibilidades. A condição inicial no ponto onde x=0 exige escolher a constante C=0, levando à solução trivial y\equiv 0.

Resposta

y(x)=0

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