Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
- A equação está na forma
com e . - A condição inicial é o ponto
.
Passo 2
Estratégia de resolução (explicação didática do método que vamos usar):
Quando uma equação está na forma , uma técnica padrão é verificar se ela é exata. Uma equação é exata se existe uma função potencial
tal que
Quando uma equação está na forma
Uma condição prática para exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Se essa condição vale, podemos encontrar
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e ajustando com uma função de
, ou integrando
em relação a
e ajustando com função de
. Depois usamos a condição inicial para determinar a constante.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão, mostrando cada passo:
Derivando
em relação a
(produto e cadeia):
Agora
Derivando
em relação a
:
Portanto
ou seja, a equação é exata.
Passo 4
Construir a função potencial
integrando
em relação a
:
Ao integrar em
,
é tratado como constante. Faço a substituição
(então
) para calcular a integral:
Voltando a
:
onde
é uma função a determinar (porque a integração em
permite uma constante que pode depender de
).
Passo 5
Determinar
impondo
. Calculo:
Mas deve ser igual a
. Logo
Assim
é constante:
. A solução implícita geral da equação exata é, portanto,
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
na solução implícita:
Logo
. Então a condição inicial seleciona a solução implícita
Passo 7
Interpretar a solução
e obter a solução explícita que respeita a condição inicial:
A equação implica
A equação
Isto fornece a família de curvas
para
, e a solução
quando
.
Agora verificar quais dessas curvas passam pelo ponto de maneira contínua: para
a expressão
não tem limite finito quando
, portanto não pode ser definida de forma contínua com
. Apenas a escolha
dá
para todos os
, que corresponde à função
Agora verificar quais dessas curvas passam pelo ponto
a qual é contínua e satisfaz
. Assim a única solução do problema de valor inicial contínua em torno de
é
.
Observação didática rápida: a equação poderia também ser manipulada como
, o que dá duas possibilidades locais:
(levando a casos com
) ou
(resolvendo dá
const). A abordagem por equação exata com
unifica essas possibilidades. A condição inicial no ponto onde
exige escolher a constante
, levando à solução trivial
.